Considere a função f(x)=x^{4}-5 x^{3}-12 x^{2}-x+1.
Baseando-se no método de Newton (Método da Tangente) para encontrar uma raiz positiva no intervalo [0,1] e sabendo-se que neste intervalo só existe uma raiz, compete a tabela a seguir e diga qual a raiz aproximada.
Iter x f(x) f^{\prime}(x) Erro
0
1
2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-5x^{3}-12x^{2}-x+1
e pede para achar, pelo método de Newton, a raiz em [0,1]. Sabemos que há apenas uma raiz nesse intervalo, e vamos precisar de sua derivada e da fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,.

Passo 2

Vamos derivar f:
f'(x)=4x^{3}-15x^{2}-24x-1.

Passo 3

Escolhemos o chute inicial x_{0}=1 (pois f(0)=1>0 e f(1)=-16<0), e aplicamos
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
para obter x_{1} e x_{2}.

Passo 4

Cálculo de x_{1}:
f(1)=1-5-12-1+1=-16,\qquad f'(1)=4-15-24-1=-36,
x_{1}=1-\frac{-16}{-36}=1-0,4444=0,5556,
erro \lvert x_{1}-x_{0}\rvert=0,4444.

Passo 5

Cálculo de x_{2}:
f(0,5556)\approx -4,0216,\qquad f'(0,5556)\approx -18,2760,
x_{2}=0,5556-\frac{-4,0216}{-18,2760}=0,5556-0,2201=0,3355,
erro \lvert x_{2}-x_{1}\rvert=0,2201.

Passo 6

Preenchendo a tabela com 4 casas decimais:
Iteração 0: x_{0}=1,0000, f(x_{0})=-16,0000, f'(x_{0})=-36,0000, Erro = –
Iteração 1: x_{1}=0,5556, f(x_{1})\approx -4,0216, f'(x_{1})\approx -18,2760, Erro =0,4444
Iteração 2: x_{2}=0,3355, f(x_{2})\approx -0,8630, f'(x_{2})\approx -10,5900, Erro =0,2201

Resposta

A raiz aproximada em [0,1] após duas iterações é aproximadamente 0,3355.

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