Uma partícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo \theta está variando a velocidade constante
\frac{d \theta}{d t}=\omega .
Depois de t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t)=-\frac{g}{2 \omega^{2}}\left[\frac{e^{\omega t}-e^{-\omega t}}{2}-\operatorname{sen}(\omega t)\right] .
onde g=9.8.
Suponha que a partícula tenha se deslocado 1,7 pé em um segundo.
Determine a velocidade \omega, no intervalo, [-2,-0.5], com a qual \theta varia.
Utilize o método da bisseção e faça 3 iterações, de acordo com a tabela abaixo.
iter a f(a) b f(b) x f(x) delta
0
1
2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \omega em [-2,-0.5] tal que a partícula se desloque 1,7 pé em t=1. O conteúdo é método da bisseção para resolver
x(1;\omega)=1{,}7,
onde
x(1;\omega)=-\frac{g}{2\omega^2}\Bigl[\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{2}-\sin(\omega)\Bigr]
e g=9{,}8. Vamos definir a função
f(\omega)=x(1;\omega)-1{,}7
e aplicar o método da bisseção no intervalo inicial \omega\in[-2,-0.5], realizando 3 iterações.

Passo 2

Calcular f nos extremos do intervalo:
f(\omega)=-\frac{9{,}8}{2\omega^2}\Bigl[\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{2}-\sin(\omega)\Bigr]-1{,}7.
Para \omega=-2:
\frac{e^{-2}-e^{2}}{2}=-3{,}6269,\quad\sin(-2)=-0{,}9093\quad\Longrightarrow\quad x(1;-2)=3{,}33,
logo f(-2)=3{,}33-1{,}7=1{,}63.
Para \omega=-0.5:
\frac{e^{-0.5}-e^{0.5}}{2}=-0{,}5211,\quad\sin(-0.5)=-0{,}4794\quad\Longrightarrow\quad x(1;-0.5)=0{,}8170,
logo f(-0.5)=0{,}8170-1{,}7=-0{,}8830.
Como f(-2)\cdot f(-0.5)<0, há raiz no intervalo.

Passo 3

Iteração 0:
a _0=-2, f(a_0)=+1{,}63; b _0=-0.5, f(b_0)=-0{,}883.
Ponto médio
x_0=\frac{-2+(-0.5)}{2}=-1{,}25,\quad f(x_0)=0{,}3471.
Como f(x_0)\cdot f(a_0)>0, substituímos a_1=x_0. \delta_0=(b_0-a_0)/2=0{,}75.

Passo 4

Iteração 1:
a _1=-1.25, f(a_1)=+0{,}3471; b _1=-0.5, f(b_1)=-0{,}8830.
x_1=\frac{-1.25+(-0.5)}{2}=-0{,}875,\quad f(x_1)=-0{,}2696.
Como f(x_1)\cdot f(a_1)<0, substituímos b_2=x_1. \delta_1=(b_1-a_1)/2=0{,}375.

Passo 5

Iteração 2:
a _2=-1.25, f(a_2)=+0{,}3471; b _2=-0.875, f(b_2)=-0{,}2696.
x_2=\frac{-1.25+(-0.875)}{2}=-1{,}0625,\quad f(x_2)=+0{,}0364.
Como f(x_2)\cdot f(a_2)>0, atualizamos a_3=x_2. \delta_2=(b_2-a_2)/2=0{,}1875.

Resposta

iter a f(a) b f(b) x f(x) delta
0 -2 +1,63 -0,5 -0,883 -1,25 +0,347 0,75
1 -1,25 +0,347 -0,5 -0,883 -0,875 -0,270 0,375
2 -1,25 +0,347 -0,875 -0,270 -1,0625 +0,036 0,1875

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