(1) Considere a função
. Encontre todos os /pontos críticos e classifique-os.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e a classificação de cada um (mínimo, máximo ou sela). Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente e depois a matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
ou
. Da segunda vem
ou
. Logo os pontos críticos são
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana de
. As segundas derivadas são
O discriminante da Hessiana é
Passo 5
Avaliamo-os em cada ponto crítico:
1. No ponto
:
2. No ponto
:
3. No ponto
:
4. No ponto
: