(1) Considere a função f(x, y)=15-3 x^{3}-3 y^{3}+9 x^{2}+9 y. Encontre todos os /pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=15-3x^{3}-3y^{3}+9x^{2}+9y
e pede os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e a classificação de cada um (mínimo, máximo ou sela). Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente e depois a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=-9x^{2}+18x=-9x(x-2),
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y=-9y^{2}+9=-9(y-1)(y+1).

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema
f_x=0,\quad f_y=0.
Da primeira equação vem x=0 ou x=2. Da segunda vem y=1 ou y=-1. Logo os pontos críticos são
(0,1),\quad(0,-1),\quad(2,1),\quad(2,-1).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana de f. As segundas derivadas são
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-18x+18=18(1-x),
f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-18y,
f_{xy}=f_{yx}=0.
O discriminante da Hessiana é
D=f_{xx}\,f_{yy}-f_{xy}^{2}=f_{xx}\,f_{yy}.

Passo 5

Avaliamo-os em cada ponto crítico:
1. No ponto (0,1):
f_{xx}(0,1)=18(1-0)=18,\quad f_{yy}(0,1)=-18\cdot1=-18,
D=18\cdot(-18)=-324<0\quad\Rightarrow\text{ponto de sela.}
2. No ponto (0,-1):
f_{xx}(0,-1)=18,\quad f_{yy}(0,-1)=-18\cdot(-1)=18,
D=18\cdot18=324>0\quad\text{e}\quad f_{xx}>0\quad\Rightarrow\text{mínimo local.}í
3. No ponto (2,1):
f_{xx}(2,1)=18(1-2)=-18,\quad f_{yy}(2,1)=-18\cdot1=-18,
D=(-18)\cdot(-18)=324>0\quad\text{e}\quad f_{xx}<0\quad\Rightarrow\text{máximo local.}á
4. No ponto (2,-1):
f_{xx}(2,-1)=-18,\quad f_{yy}(2,-1)=-18\cdot(-1)=18,
D=(-18)\cdot18=-324<0\quad\Rightarrow\text{ponto de sela.}

Resposta

(0,1): ponto de sela.
(0,-1): mínimo local.
(2,1): máximo local.
(2,-1): ponto de sela.

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