Seja a função
.
(a) Calcule e esboce o gradiente de
no ponto
, assim como a curva de nível que passa por esse ponto.
(b) Calcule
na direção
.
(c) Em que direção e sentido a função cresce mais rápido a partir do ponto
? Qual é a maior taxa de variação de
a partir desse ponto?
(d) Determine a Fórmula de Taylor de ordem um da funçõ
no ponto de coordenadas
.
(a) Calcule e esboce o gradiente de
(b) Calcule
(c) Em que direção e sentido a função cresce mais rápido a partir do ponto
(d) Determine a Fórmula de Taylor de ordem um da funçõ
Passo 1
O enunciado dá
e pede
(a) o gradiente em e a curva de nível que passa por esse ponto;
(b) a derivada direcional em na direção
;
(c) a direção e o sentido de crescimento mais rápido em e a maior taxa de variação;
(d) a fórmula de Taylor de ordem um em .
Vamos usar derivadas parciais, gradiente, produto escalar e aproximação linear.
(a) o gradiente em
(b) a derivada direcional em
(c) a direção e o sentido de crescimento mais rápido em
(d) a fórmula de Taylor de ordem um em
Vamos usar derivadas parciais, gradiente, produto escalar e aproximação linear.
Passo 2
Como
,
portanto
Em
isso dá
A curva de nível com valor
é
uma hipérbole cujos ramos ficam nos quadrantes II e IV.
Passo 3
Para a derivada direcional em
na direção
, usamos
Como
, vem
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido em
é a do gradiente
. O vetor unitário correspondente é
A maior taxa de variação é
Passo 5
A aproximação linear (Taylor de ordem 1) de
em
é
Como
,
e
, obtemos
Resposta
(a)
. A curva de nível é
, uma hipérbole com ramos nos quadrantes II e IV.
(b) .
(c) Cresce mais rápido na direção de (vetor unitário
), e a taxa máxima é
.
(d) .
(b)
(c) Cresce mais rápido na direção de
(d)