Seja a função f(x, y)=x y.
(a) Calcule e esboce o gradiente de f no ponto (1,-1), assim como a curva de nível que passa por esse ponto.
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,1) na direção \vec{u}=\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}.
(c) Em que direção e sentido a função cresce mais rápido a partir do ponto (-1,1) ? Qual é a maior taxa de variação de f a partir desse ponto?
(d) Determine a Fórmula de Taylor de ordem um da funçõ f(x, y)=x y no ponto de coordenadas (-1,1).

Passo 1

O enunciado dá f(x,y)=xy e pede
(a) o gradiente em (1,-1) e a curva de nível que passa por esse ponto;
(b) a derivada direcional em (-1,1) na direção \vec u=(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2});
(c) a direção e o sentido de crescimento mais rápido em (-1,1) e a maior taxa de variação;
(d) a fórmula de Taylor de ordem um em (-1,1).
Vamos usar derivadas parciais, gradiente, produto escalar e aproximação linear.

Passo 2

Como f(x,y)=xy,
\frac{\partial f}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x,
portanto
\nabla f(x,y)=(y,x).
Em (1,-1) isso dá
\nabla f(1,-1)=(-1,1).
A curva de nível com valor c=f(1,-1)=-1 é
xy=-1,
uma hipérbole cujos ramos ficam nos quadrantes II e IV.

Passo 3

Para a derivada direcional em (-1,1) na direção \vec u=(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}), usamos
D_{\vec u}f(-1,1) =\nabla f(-1,1)\cdot\vec u.
Como \nabla f(-1,1)=(1,-1), vem
D_{\vec u}f(-1,1) =(1,-1)\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2} =\sqrt2.

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido em (-1,1) é a do gradiente \nabla f(-1,1)=(1,-1). O vetor unitário correspondente é
\frac{1}{\|\nabla f(-1,1)\|}(1,-1) =\bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr).
A maior taxa de variação é
\|\nabla f(-1,1)\| =\sqrt{1^2+(-1)^2} =\sqrt2.

Passo 5

A aproximação linear (Taylor de ordem 1) de f em (-1,1) é
L(x,y) =f(-1,1) +\frac{\partial f}{\partial x}(-1,1)\,(x+1) +\frac{\partial f}{\partial y}(-1,1)\,(y-1).
Como f(-1,1)=-1, \frac{\partial f}{\partial x}(-1,1)=1 e \frac{\partial f}{\partial y}(-1,1)=-1, obtemos
L(x,y) =-1+1\,(x+1)-1\,(y-1) =-1+x+1-y+1 =x - y + 1.

Resposta

(a) \nabla f(1,-1)=(-1,1). A curva de nível é xy=-1, uma hipérbole com ramos nos quadrantes II e IV.
(b) D_{\vec u}f(-1,1)=\sqrt2.
(c) Cresce mais rápido na direção de \nabla f(-1,1)=(1,-1) (vetor unitário (\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2})), e a taxa máxima é \sqrt2.
(d) L(x,y)=x - y + 1.

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