Nos Exercicios 9 e 10, encontre todos os vetores x em R^4 que sảo transformados no vetor nulo pela aplicação x mapsto A x.
A=[rrrr1 & -4 & 7 & -5 0 & 1 & -4 & 3 2 & -6 & 6 & -4]

Passo 1

O enunciado pede encontrar todos os vetores xinR^4 tais que Ax=0. Isso significa achar o núcleo (nullspace) de
A=1 & -4 & 7 & -50 & 1 & -4 & 32 & -6 & 6 & -4,
ou seja resolver o sistema homogêneo de 3 equações e 4 incógnitas.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e aplicar eliminação de Gauss. A matriz é
[rrrr|r 1 & -4 & 7 & -5 & 0 0 & 1 & -4 & 3 & 0 2 & -6 & 6 & -4 & 0 ]
Fazendo R3 R3-2R1 obtemos
[rrrr|r 1 & -4 & 7 & -5 & 0 0 & 1 & -4 & 3 & 0 0 & 2 & -8 & 6 & 0 ],
e em seguida R3 R3-2R2 leva a
[rrrr|r 1 & -4 & 7 & -5 & 0 0 & 1 & -4 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da forma escalonada as duas equações não-triviais são
x1 - 4x2 + 7x3 - 5x4 = 0, x2 - 4x3 + 3x4 = 0

Passo 4

Como há 4 incógnitas e só 2 equações, tomamos x3=alpha e x4=beta como parâmetros livres. Da segunda equação vem
x2 = 4alpha - 3beta,
e substituindo em x1 - 4x2 + 7alpha -5beta=0 obtemos
x1 = 4x2 -7alpha +5beta = 4(4alpha-3beta) -7alpha +5beta = 9alpha -7beta

Passo 5

Logo o vetor genérico do núcleo é
x = (x1,x2,x3,x4) = (9alpha -7beta,;4alpha -3beta,;alpha,;beta),
com alpha,betainR. Em forma de combinação linear,
null(A) = alpha(9,4,1,0) + beta(-7,-3,0,1)mid alpha,betainR

Resposta

null(A)=alpha(9,4,1,0)+beta(-7,-3,0,1)midalpha,betainR

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