Nos Exercicios 9 e 10, encontre todos os vetores
em
que sảo transformados no vetor nulo pela aplicação
.
Passo 1
O enunciado pede encontrar todos os vetores
xinR^4 tais que
Ax=0 . Isso significa achar o núcleo (nullspace) de
ou seja resolver o sistema homogêneo de 3 equações e 4 incógnitas.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar eliminação de Gauss. A matriz é
Fazendo
R3 R3-2R1 obtemos
e em seguida
R3 R3-2R2 leva a
Passo 3
Da forma escalonada as duas equações não-triviais são
Passo 4
Como há 4 incógnitas e só 2 equações, tomamos
x3=alpha e
x4=beta como parâmetros livres. Da segunda equação vem
e substituindo em
x1 - 4x2 + 7alpha -5beta=0 obtemos
Passo 5
Logo o vetor genérico do núcleo é
com
alpha,betainR . Em forma de combinação linear,