1. Considere a a função
f(x)= 2 x^2 e^1-x, & para x >= 1 ln (x^2)+2, & para 0<x<1 x^2, & para x <= 0
(a) [2,0 ptos ] Determine Dom(f^prime) e calcule f^prime;
(b) [1,0 pto ] Determine o maior intervalo contendo o ponto x=1 tal que f é inversível;
(c) [1,0 pto] Calcule (f^-1)^prime(2) onde f^-1 é a inversa obtida no ítem (b).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= 2x^2e^1-x,&x>=1, lnl(x^2r)+2,&0<x<1, x^2,&x<=0,
e pede em (a) o domínio de f' e sua expressão; em (b) o maior intervalo contendo x=1 em que f é invertível; em (c) o valor de l(f^-1r)'(2). Vamos usar regras de derivação para cada ramo, testar as fronteiras e depois analisar monotonicidade.

Passo 2

Derivamos em cada ramo e analisamos as fronteiras:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Pelo produto e cadeia,
Agora checamos as fronteiras:
  • Em , o ramo de direita dá
e o ramo de esquerda dá
Como coincidem e é contínua em , é diferenciável em .
  • Em , a função nem é contínua (o ramo à direita tende a ), logo não é diferenciável.
Portanto
com

Passo 3

Para achar onde f é invertível em torno de x=1, olhamos o sinal de f' para x>0. Em 0<x<1, f'(x)=2/x>0. Em 1<x<2,
f'(x)=e^1-x,2x,(2-x)>0
pois 2-x>0. Em x>2, muda de sinal. Logo f é estritamente crescente em (0,2) e daí invertível nesse intervalo. Como 1in(0,2), o maior intervalo contendo 1 em que f é invertível é
(0,2)

Passo 4

Se f é invertível em (0,2), e como f(1)=2, pela regra da derivada da inversa temos
l(f^-1r)'(2) =1f'(1)
Do passo 2 vimos f'(1)=2. Portanto
l(f^-1r)'(2)=12

Resposta

(a)
(b) O maior intervalo contendo é invertível é .
(c) .

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