Exercício 13 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+y=cosec(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = csc(t)
Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea associada
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Portanto, as soluções fundamentais são
y1(t) = cos t, y2(t) = sin t,
e a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp de
y'' + y = csc(t),
usamos variação de parâmetros com as soluções y1 e y2. O Wronskiano é
W(y1,y2) = cos t & sin t -,sin t & cos t =cos^2t+sin^2t=1
As funções auxiliares u1' e u2' são dadas por
u1' = -y2,csc(t)W = -sin tcdotcsc t = -1,
u2' = y1,csc(t)W = cos tcdotcsc t = cot t
Integrando, obtemos
u1(t) = -integral 1,dt = -t, u2(t) = integral cot t,dt = lnlvertsin trvert

Passo 4

A solução particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = (-t)cos t + lnlvertsin trvert;sin t
Logo, a solução geral da equação original é a soma de yh e yp:
y(t) = C1cos t + C2sin t - tcos t + sin t,lnlvertsin trvert

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t - tcos t + sin t,lnlvertsin trvert

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