Problema 1.4. Mostre que dados três números naturais a, b e c, quaisquer,
se a+c=b+c, então a=b ã

Passo 1

O enunciado afirma que, para quaisquer naturais a,b,c, se
a + c ;=; b + c
então devemos mostrar que
a = b
O conteúdo envolvido é a definição de adição nos naturais (via sucessor) e o princípio de indução em c, além do axioma de que o sucessor é injetivo.

Passo 2

Base da indução ( c=0): pela definição de adição em N temos
a + 0 = a e b + 0 = b
Se a + 0 = b + 0, então a = b. Logo, a propriedade vale para c=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum kinN, valha
se a + k = b + k então a = b ã
Vamos mostrar que isso implica o caso c = k+1.
Suponha
a + (k+1) = b + (k+1)
Pela definição de adição,
a + (k+1) = (a + k) + 1 e b + (k+1) = (b + k) + 1
Logo
(a + k) + 1 ;=;(b + k) + 1
Pelo axioma de injetividade do sucessor segue
a + k = b + k
Aplicando a hipótese indutiva, concluímos a = b.

Passo 4

Pelo princípio da indução em c, a propriedade vale para todo cinN: sempre que a + c = b + c então a = b.

Resposta

a = b

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