Problema 1.4. Mostre que dados três números naturais
e
, quaisquer,
Passo 1
O enunciado afirma que, para quaisquer naturais
, se
então devemos mostrar que
O conteúdo envolvido é a definição de adição nos naturais (via sucessor) e o princípio de indução em
, além do axioma de que o sucessor é injetivo.
Passo 2
Base da indução (
): pela definição de adição em
temos
Se
, então
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, valha
Vamos mostrar que isso implica o caso
.
Suponha
Suponha
Pela definição de adição,
Logo
Pelo axioma de injetividade do sucessor segue
Aplicando a hipótese indutiva, concluímos
.
Passo 4
Pelo princípio da indução em
, a propriedade vale para todo
: sempre que
então
.