(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma 3 n+1 ou 3 n+2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é um número primo e p>3, então existe um inteiro n tal que ou p=3n+1 ou p=3n+2. O conteúdo envolve divisão euclidiana e aritmética modular em relação a 3.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão euclidiana, qualquer inteiro p pode ser escrito como
p = 3q + r
onde q é um inteiro e o resto r satisfaz rin0,1,2.

Passo 3

Como p é primo e p>3, não pode ser divisível por 3. Se r=0, então p=3q seria múltiplo de 3 maior que 3, o que contradiz a primalidade de p. Logo, o caso r=0 está descartado.

Passo 4

Sobram apenas as possibilidades r=1 ou r=2. Portanto
p = 3q + 1 ou p = 3q + 2,
o que mostra exatamente que todo primo maior que 3 é da forma 3n+1 ou 3n+2.

Resposta

Todo primo p>3 satisfaz p=3n+1 ou p=3n+2.

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