Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente analise a concavidade e identifique eventuais pontos de inflexão da função
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas de segunda ordem: a concavidade é determinada pelo sinal de
e ponto de inflexão é onde
muda de sinal.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Usamos a regra do poder para cada termo:
Passo 3
Em seguida, calculamos a segunda derivada
a partir de
:
Para encontrar pontos onde a concavidade pode mudar, resolvemos
Passo 4
Agora, analisamos o sinal de
:
- Se
, então , logo e a curva é côncava para baixo. - Se
, então , logo e a curva é côncava para cima.
Passo 5
Como
troca de sinal ao passar por
, esse
é abscissa de um ponto de inflexão. Para achar a ordenada, calculamos
Logo, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
Há um ponto de inflexão em .
Há um ponto de inflexão em