Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
n(x)=2 x^3-x^2-4 x+1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente analise a concavidade e identifique eventuais pontos de inflexão da função
n(x)=2x^3-x^2-4x+1
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas de segunda ordem: a concavidade é determinada pelo sinal de n''(x) e ponto de inflexão é onde n''(x) muda de sinal.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada n'(x). Usamos a regra do poder para cada termo:
n'(x)=ddxl(2x^3r)-ddxl(x^2r)-ddxl(4xr)+ddx(1)
n'(x)=6x^2-2x-4+0=6x^2-2x-4

Passo 3

Em seguida, calculamos a segunda derivada n''(x) a partir de n'(x):
n''(x)=ddxl(6x^2-2x-4r)=12x-2
Para encontrar pontos onde a concavidade pode mudar, resolvemos
n''(x)=0 Longrightarrow 12x-2=0 Longrightarrow x=tfrac16

Passo 4

Agora, analisamos o sinal de n''(x)=12x-2:
  • Se x<tfrac16, então 12x-2<0, logo n''(x)<0 e a curva é côncava para baixo.
  • Se x>tfrac16, então 12x-2>0, logo n''(x)>0 e a curva é côncava para cima.

Passo 5

Como n''(x) troca de sinal ao passar por x=tfrac16, esse x é abscissa de um ponto de inflexão. Para achar a ordenada, calculamos
nl(tfrac16r) =2l(tfrac16r)^3-l(tfrac16r)^2-4l(tfrac16r)+1 =1754
Logo, o ponto de inflexão é l(tfrac16,,tfrac1754r).

Resposta

A função é côncava para baixo em l(-infty,tfrac16r) e côncava para cima em l(tfrac16,inftyr).
Há um ponto de inflexão em l(tfrac16,,tfrac1754r).

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