Considere a função
f(x, y)=cc 6 x^3+2 x y^23 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) -2, & se (x, y)=(0,0) é contínua em ( f )? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=6x^3+2xy^23x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)-2,&(x,y)=(0,0) é contínua no ponto l(-tfrac12,tfrac12r). O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, em particular de quocientes de polinômios.

Passo 2

Observamos que l(-tfrac12,tfrac12r)neq(0,0), então usamos a expressão 6x^3+2xy^23x^2+y^2 Calculamos o denominador em l(-tfrac12,tfrac12r):
3l(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2=3cdottfrac14+tfrac14=1neq0
Como o denominador é não nulo, a função é bem definida ali. Se quisermos, encontramos também
numerador=6l(-tfrac12r)^3+2l(-tfrac12r)l(tfrac12r)^2=-tfrac34-tfrac14=-1,
logo fl(-tfrac12,tfrac12r)=-11=-1

Passo 3

Como numerador e denominador são polinômios, são funções contínuas, e o denominador não se anula em l(-tfrac12,tfrac12r). Pelo teorema da continuidade de quocientes, f(x,y) é contínua em l(-tfrac12,tfrac12r). Aí vale que
lim(x,y)to(-1/2,1/2)f(x,y)=f(-1/2,1/2)=-1

Resposta

Sim. f é contínua em \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr) pois ali é quociente de funções contínuas com denominador não nulo.

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