Considere a função
f(x, y)=cc 6 x^3+2 x y^23 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) -2, & se (x, y)=(0,0)
Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac6x^3+2xy^23x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] -2,&se (x,y)=(0,0),
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos verificar se o limite existe usando mudanças de coordenadas (por exemplo, coordenadas polares).]

Passo 2

Para estudar limites em (0,0) de funções racionais em x,y, uma técnica eficiente é usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Conforme rto0, (x,y)to(0,0) para qualquer theta.

Passo 3

Na expressão de f(x,y) com (x,y)neq(0,0),
substituímos x=rcostheta e y=rsintheta. O numerador fica
6x^3+2xy^2 =6(rcostheta)^3+2(rcostheta)(rsintheta)^2 =r^3costhetal(6cos^2theta+2sin^2thetar),
e o denominador fica
3x^2+y^2 =3(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^2l(3cos^2theta+sin^2thetar)

Passo 4

Dividindo numerador por denominador, para (x,y)neq(0,0) temos
f(r,theta) =r^3costhetal(6cos^2theta+2sin^2thetar) r^2l(3cos^2theta+sin^2thetar) =2rcostheta
Note que ,3cos^2theta+sin^2theta>0 para todo theta, então não houve divisão por zero.

Passo 5

Como ,f(r,theta)=2rcostheta e l|2rcosthetar|<=2r, ao fazer rto0 temos 2rcosthetato0 para qualquer theta. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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