Determine em que pontos as funções são contínuas:
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos em que a função f(x,y)=cos√(1+x−y) é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis e vamos precisar usar o fato de que composição de funções contínuas é contínua no domínio em que tudo faz sentido.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio natural de f: como f envolve √(1+x−y), precisamos ter 1+x−y≥0 para que a raiz seja real. Logo o domínio é D = {(x,y)∈ℝ² ∣ 1 + x − y ≥ 0}.
Passo 3
Em seguida lembramos que a função g(u)=√u é contínua em [0,∞) e h(v)=cos v é contínua em ℝ. Também a função L(x,y)=1+x−y é linear e, portanto, contínua em ℝ².
Passo 4
Por fim usamos a propriedade de que a composição h∘g∘L é contínua em todos os pontos onde g∘L está no domínio de h, isto é, onde L(x,y)≥0. Portanto f é contínua em todo o domínio D.
Como não há mais restrições, a continuidade vale exatamente onde 1+x−y≥0.
Como não há mais restrições, a continuidade vale exatamente onde 1+x−y≥0.
Resposta
f é contínua em todos os pontos (x,y) tais que 1 + x − y ≥ 0.