Parametrize e esboce as superfícies indicadas a seguir:
Obtida pela rotação em torno do eixo z da curva y=0 e z=1x, x>0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente parametrizar e esboçar uma superfície que é obtida ao girar uma curva em torno do eixo z. A curva dada é y=0 e z=1x com x > 0. Vamos precisar de conhecimentos sobre parametrização de superfícies de revolução e entender como aplicar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que vamos girar. A curva está no plano yz, já que y=0. Isso significa que toda a curva está no eixo z, mas com z = 1x. Como x > 0, z sempre vai ser positivo e diminuir conforme x aumenta.

Passo 3

Agora, pra girar essa curva em torno do eixo z, a gente vai usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto pode ser descrito por (r, theta, z), onde r é a distância do ponto até o eixo z, theta é o ângulo em torno do eixo z, e z é a altura.

Passo 4

Como a curva original está no eixo z, a distância r dela até o eixo z é basicamente o valor de x. Então, podemos dizer que r = x. E como z = 1x, a gente pode relacionar r e z dessa forma: z = 1r.

Passo 5

Para parametrizar a superfície, vamos usar [\theta) como o parâmetro que varia de a , para cobrir toda a rotação ao redor do eixo . Assim, a parametrização fica:
Onde .

Passo 6

Então, juntando tudo, a parametrização da superfície é:
r(r, theta) = ( r costheta,, r sintheta,, 1r )
Com r > 0 e 0 <= theta < 2pi.

Passo 7

Para esboçar a superfície, imagine que a curva z = 1x está sendo girada 360 graus ao redor do eixo z. Isso vai criar uma superfície parecida com um hiperboloide de uma folha, onde conforme r aumenta, z diminui.

Resposta

A parametrização da superfície é:
r(r, theta) = ( r costheta,, r sintheta,, 1r )
Com r > 0 e 0 <= theta < 2pi. A superfície resultante é semelhante a um hiperboloide de uma folha, formado pela rotação da curva z = 1x em torno do eixo z.

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