Parametrize e esboce as superfícies indicadas a seguir:
Obtida pela rotação em torno do eixo da curva e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente parametrizar e esboçar uma superfície que é obtida ao girar uma curva em torno do eixo . A curva dada é e com . Vamos precisar de conhecimentos sobre parametrização de superfícies de revolução e entender como aplicar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que vamos girar. A curva está no plano , já que . Isso significa que toda a curva está no eixo , mas com . Como , sempre vai ser positivo e diminuir conforme aumenta.
Passo 3
Agora, pra girar essa curva em torno do eixo , a gente vai usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto pode ser descrito por , onde é a distância do ponto até o eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.
Passo 4
Como a curva original está no eixo , a distância dela até o eixo é basicamente o valor de . Então, podemos dizer que . E como , a gente pode relacionar e dessa forma: .
Passo 5
Para parametrizar a superfície, vamos usar [\theta) como o parâmetro que varia de a , para cobrir toda a rotação ao redor do eixo . Assim, a parametrização fica:
Onde .
Passo 6
Então, juntando tudo, a parametrização da superfície é:
r(r, theta) = ( r costheta,, r sintheta,, 1r )
Com r > 0 e 0 <= theta < 2pi.
Passo 7
Para esboçar a superfície, imagine que a curva z = 1x está sendo girada 360 graus ao redor do eixo z. Isso vai criar uma superfície parecida com um hiperboloide de uma folha, onde conforme r aumenta, z diminui.
Resposta
A parametrização da superfície é:
r(r, theta) = ( r costheta,, r sintheta,, 1r )
Com r > 0 e 0 <= theta < 2pi. A superfície resultante é semelhante a um hiperboloide de uma folha, formado pela rotação da curva z = 1x em torno do eixo z.