(!!) Considere a função:
d) Calcule
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
no ponto
. A função dada é:
Primeiro, simplificamos a expressão:
Passo 4
Agora, calculamos
e
usando a regra do quociente:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos avaliar
e
no ponto
:
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos usar a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional
é igual a
.