(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
d) Calcule D_v f(1,1), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional em um ponto na direção de um vetor é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de no ponto . A função dada é:
Primeiro, simplificamos a expressão:

Passo 4

Agora, calculamos e usando a regra do quociente:
Para :
Para :

Passo 5

Vamos avaliar e no ponto :
Calculando :
Simplificando:
Calculando :

Passo 6

Agora que temos e , podemos usar a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional é igual a .

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