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Determine o plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico de
.
Determine o plano que passa pelos pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um plano que passa por dois pontos específicos, que são
e
, e que também seja tangente ao gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como determinar a equação de um plano e entender o que significa ser tangente a uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor que liga os dois pontos dados. Isso é feito subtraindo as coordenadas dos pontos:
Esse vetor será útil para determinar a orientação do nosso plano.
Passo 3
Sabemos que um plano pode ser descrito pela equação geral:
Onde
é um ponto no plano e
são os coeficientes que definem a normal do plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes.
Passo 4
Como o plano é tangente ao gráfico de
, precisamos primeiro encontrar a equação desse gráfico. O gráfico de
é uma superfície no espaço tridimensional. Para que o plano seja tangente a essa superfície, suas normais devem ser paralelas.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
para encontrar a normal da superfície:
A normal à superfície em um ponto
é dada por
.
Passo 6
Agora, precisamos que a normal do plano seja igual à normal da superfície no ponto de tangência. Ou seja:
Além disso, o ponto de tangência
deve satisfazer
.
Passo 7
Temos duas equações para o plano que passa pelos pontos dados e ser tangente:
- O plano deve passar pelos pontos
e . - O plano é tangente à superfície
.
Vamos substituir esses pontos na equação geral do plano e resolver o sistema de equações para encontrar
,
e
.
Passo 8
Substituindo o ponto
na equação do plano:
Substituindo o ponto
:
Passo 9
Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações para eliminar
:
Então,
.
Passo 10
Substituindo
na segunda equação:
Agora, temos
e
. Vamos escolher
para simplificar (qualquer múltiplo serve):
Passo 11
Agora que temos os coeficientes do plano, a equação fica:
Portanto, a equação do plano é:
Resposta
O plano que passa pelos pontos
e
e que é tangente ao gráfico de
é dado por: