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Determine o plano que passa pelos pontos 1, 2, 2 e (-1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = x * y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um plano que passa por dois pontos específicos, que são 1, 2, 2 e (-1, 1, 1), e que também seja tangente ao gráfico da função . Aqui, estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como determinar a equação de um plano e entender o que significa ser tangente a uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor que liga os dois pontos dados. Isso é feito subtraindo as coordenadas dos pontos:
Esse vetor será útil para determinar a orientação do nosso plano.

Passo 3

Sabemos que um plano pode ser descrito pela equação geral:
Onde é um ponto no plano e são os coeficientes que definem a normal do plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes.

Passo 4

Como o plano é tangente ao gráfico de , precisamos primeiro encontrar a equação desse gráfico. O gráfico de é uma superfície no espaço tridimensional. Para que o plano seja tangente a essa superfície, suas normais devem ser paralelas.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) para encontrar a normal da superfície:
A normal à superfície em um ponto é dada por .

Passo 6

Agora, precisamos que a normal do plano seja igual à normal da superfície no ponto de tangência. Ou seja:
Além disso, o ponto de tangência deve satisfazer .

Passo 7

Temos duas equações para o plano que passa pelos pontos dados e ser tangente:
  1. O plano deve passar pelos pontos 1, 2, 2 e (-1, 1, 1).
  2. O plano é tangente à superfície .
Vamos substituir esses pontos na equação geral do plano e resolver o sistema de equações para encontrar A, B e C.

Passo 8

Substituindo o ponto 1, 2, 2 na equação do plano:
Substituindo o ponto (-1, 1, 1):

Passo 9

Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações para eliminar A:
Então, .

Passo 10

Substituindo na segunda equação:
Agora, temos e . Vamos escolher para simplificar (qualquer múltiplo serve):

Passo 11

Agora que temos os coeficientes do plano, a equação fica:
Portanto, a equação do plano é:

Resposta

O plano que passa pelos pontos 1, 2, 2 e (-1, 1, 1) e que é tangente ao gráfico de é dado por:

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