(!!) Considere a função:
f)
é diferenciável em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis
definida da seguinte maneira:
O exercício pergunta se essa função é diferenciável no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como limites, continuidade e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
.
Passo 3
Para calcular o limite, é útil usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, observamos que à medida que
se aproxima de 0, toda a expressão é multiplicada por
. Independentemente dos valores de
, o termo
vai para 0. Portanto:
Isso mostra que a função é contínua em
.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais são os limites:
Passo 6
Calculando
:
Então,
Calculando
:
Então,
Passo 7
Agora que temos as derivadas parciais
e
, vamos verificar se a função é diferenciável em
. Para isso, precisamos checar se:
Substituindo os valores:
Passo 8
Usando a expressão de
para
:
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando:
Após simplificar os termos, percebemos que o numerador se anula, fazendo o limite valer 0.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em
, pois satisfaz todas as condições de continuidade e as derivadas parciais existem e são consistentes, garantindo a diferenciabilidade no ponto.