(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
f) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis definida da seguinte maneira:
O exercício pergunta se essa função é diferenciável no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como limites, continuidade e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .

Passo 3

Para calcular o limite, é útil usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, observamos que à medida que se aproxima de 0, toda a expressão é multiplicada por . Independentemente dos valores de , o termo vai para 0. Portanto:
Isso mostra que a função é contínua em .

Passo 5

Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais são os limites:

Passo 6

Calculando :
Então,
Calculando :
Então,

Passo 7

Agora que temos as derivadas parciais e , vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, precisamos checar se:
Substituindo os valores:

Passo 8

Usando a expressão de para :
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando:
Após simplificar os termos, percebemos que o numerador se anula, fazendo o limite valer 0.

Resposta

Sim, a função é diferenciável em , pois satisfaz todas as condições de continuidade e as derivadas parciais existem e são consistentes, garantindo a diferenciabilidade no ponto.

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