Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio, a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e, por fim, esboçar o gráfico da função . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções absolutas e suas propriedades básicas.
Passo 2
Dominio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida. Como estamos lidando com funções absolutas, que estão definidas para todos os números reais, o domínio de é:
Passo 3
Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como a função é a soma de duas funções absolutas, sabemos que cada termo é sempre maior ou igual a zero. Portanto, também será sempre maior ou igual a zero. Vamos encontrar o valor mínimo da função para determinar a imagem.
Primeiro, identificamos os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se igualam a zero:
Vamos avaliar em e :
Em :
Em :
O menor valor de é , então a imagem da função é:
Passo 4
Conjunto de Zeros:
O conjunto de zeros da função são os valores de que fazem . Ou seja:
Sabemos que valores absolutos são sempre não negativos. A soma de dois valores não negativos só será zero se ambos forem zero simultaneamente:
Mas não existe um que satisfaça e ao mesmo tempo. Portanto, a função não possui zeros.
Passo 5
Intervalos de Positividade e Negatividade:
Como vimos que é a soma de duas funções absolutas, ela é sempre maior ou igual a , ou seja, nunca é negativa. E como ela nunca chega a zero, ela é sempre positiva.
Passo 6
Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico de , vamos considerar os pontos-chave que encontramos:
Em ,
Em ,
Entre esses pontos e além deles, a função será linear, pois estamos somando funções lineares dentro dos valores absolutos. O gráfico será uma combinação de duas “V’s” que se encontram, formando um gráfico em forma de “W” simplificado.
(Nota: Como não posso desenhar o gráfico aqui, recomendo plotar os pontos e traçar as linhas com base nas inclinações das funções absolutas.)