Use o algoritmo de divisão de polinômios para dividir f(x) por g(x), achando o quociente q(x) e o resto r(x) em cada caso: f(x) = x^3 - x, g(x) = x^2 - x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para dividir o polinômio pelo polinômio . Aqui, estamos trabalhando com divisão de polinômios, um conceito fundamental na álgebra que nos permite expressar um polinômio como o produto de outro polinômio mais um resto. Para isso, vamos precisar identificar o quociente e o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios em ordem decrescente dos graus. Nosso dividendo é e o divisor é . Se necessário, adicionamos termos com coeficientes zero para facilitar a divisão:

Passo 3

Agora, vamos começar a divisão. Olhamos para o termo de maior grau em , que é , e para o termo de maior grau em , que é . Vamos dividir por :
Esse resultado, , será o primeiro termo do quociente .

Passo 4

Em seguida, multiplicamos o quociente parcial pelo divisor :
Subtraímos esse resultado do dividendo original:
Isso nos deixa com um novo polinômio: .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo polinômio . Dividimos o termo de maior grau pelo termo de maior grau do divisor :
Esse 1 será adicionado ao quociente , ficando .

Passo 6

Multiplicamos esse novo termo do quociente pelo divisor:
Subtraímos novamente:
O resto dessa subtração é zero.

Resposta

O quociente da divisão é e o resto é . Portanto:

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