Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e ainda esboçar o gráfico da função
. Isso tudo está relacionado ao estudo de funções, especialmente funções de radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, ou seja, o radicando, precisa ser maior ou igual a zero.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, o domínio é todo número real menor ou igual a 4.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem são todos os valores que
pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o resultado sempre será não negativo.
Portanto:
Logo, a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos.
Passo 4
Vamos achar o conjunto de zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem
.
Igualando a função a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, o único zero da função é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função.
Sabemos que a função é uma raiz quadrada, que sempre dá resultado não negativo. Mas vamos analisar:
Para
:
Então,
é positiva.
Para
:
Então,
.
Para
:
A função não está definida, já que o radicando fica negativo.
A função não está definida, já que o radicando fica negativo.
Portanto, a função é positiva para
e zero em
. Não há intervalos onde a função é negativa.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Como a função é
, ela representa uma raiz quadrada invertida horizontalmente.
Pontos importantes:
- Passa por
. - À medida que
diminui (indo para a esquerda), aumenta.
O gráfico será uma curva que começa no ponto
e se estende para a esquerda, subindo conforme
diminui.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Conjunto de zeros:
Intervalos de positividade:
Intervalos de negatividade: Nenhum
Esboço do gráfico: Uma curva de raiz quadrada invertida começando em e subindo para a esquerda.
Imagem:
Conjunto de zeros:
Intervalos de positividade:
Intervalos de negatividade: Nenhum
Esboço do gráfico: Uma curva de raiz quadrada invertida começando em