Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = raiz(-x + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e ainda esboçar o gráfico da função . Isso tudo está relacionado ao estudo de funções, especialmente funções de radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, ou seja, o radicando, precisa ser maior ou igual a zero.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, o domínio é todo número real menor ou igual a 4.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem são todos os valores que pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o resultado sempre será não negativo.
Portanto:
Logo, a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos.

Passo 4

Vamos achar o conjunto de zeros da função, ou seja, os valores de que fazem .
Igualando a função a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, o único zero da função é .

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função.
Sabemos que a função é uma raiz quadrada, que sempre dá resultado não negativo. Mas vamos analisar:
Para :
Então, é positiva.
Para :
Então, .
Para :
A função não está definida, já que o radicando fica negativo.
Portanto, a função é positiva para e zero em . Não há intervalos onde a função é negativa.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Como a função é , ela representa uma raiz quadrada invertida horizontalmente.
Pontos importantes:
  • Passa por .
  • À medida que diminui (indo para a esquerda), aumenta.
O gráfico será uma curva que começa no ponto e se estende para a esquerda, subindo conforme diminui.

Resposta

Domínio:
Imagem:
Conjunto de zeros:
Intervalos de positividade:
Intervalos de negatividade: Nenhum
Esboço do gráfico: Uma curva de raiz quadrada invertida começando em e subindo para a esquerda.

Exercícios relacionados