Considere a função y = (3*x^5 + 1) / (x^2 - 3), verifique se as sentenças são verdadeiras:
a) A função não é contínua no ponto x = raiz(3) pois tem uma assíntota vertical dada pela reta constante x = raiz(3)
b) A função tem assintota horizontal dada pela reta y = 3.
c) A derivada da função y é y' = (15 x + 1) / (x^4 - 9).
d) A derivada da função y é y' = (9 x^6 - 45 x^4 + 2 x) / (x^4 - 9)
e) A derivada da função y é y' = 15 x^4 / (2 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa verificar se as afirmações de a) a e) são verdadeiras. Para isso, vamos usar conhecimentos de continuidade de funções, assíntotas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função no ponto . A função não é contínua nesse ponto se o denominador for zero, pois isso indica uma assíntota vertical.

Passo 3

Calculando , temos ou . Então, a função não é definida nesses pontos, confirmando a presença de uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, para verificar se existe uma assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando tende para infinito. Dividindo os termos de maior grau no numerador e denominador, temos , que tende para infinito. Isso significa que não há assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos calcular a derivada da função . Usando a regra do quociente:
Simplificando, obtemos:

Passo 6

Agora, vamos comparar as derivadas calculadas com as apresentadas nas opções c), d) e e). A derivada correta é , o que corresponde à opção d) após simplificação.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa

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