Considere a função
f(x, y)=cc x^5+x y^2x^4+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 3, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (0,0)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função f(x, y) definida de duas formas diferentes: uma para quando (x, y) não é o ponto (0,0) e outra especificamente para (0,0) . A pergunta é: essa função é contínua em (0,0) ? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de limite e continuidade que você já deve ter visto nas aulas de matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua em (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos verificar se:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0) = 3

Passo 3

Vamos então calcular o limite lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) para ver se ele é igual a 3. A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = x^5 + x y^2x^4 + y^2
Essa expressão pode parecer complicada, mas podemos simplificar usando coordenadas polares, onde:
x = r cos theta y = r sin theta
Aqui, r é a distância do ponto (x, y) até a origem (0,0) , e theta é o ângulo.

Passo 4

Substituindo x e y por suas expressões em coordenadas polares:
f(r, theta) = (r cos theta)^5 + (r cos theta)(r sin theta)^2(r cos theta)^4 + (r sin theta)^2
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Calcule x^5 = (r cos theta)^5 = r^5 cos^5 theta
  2. Calcule x y^2 = (r cos theta)(r sin theta)^2 = r cos theta cdot r^2 sin^2 theta = r^3 cos theta sin^2 theta
  3. Calcule x^4 = (r cos theta)^4 = r^4 cos^4 theta
  4. Calcule y^2 = (r sin theta)^2 = r^2 sin^2 theta
Agora, substituímos de volta na função:
f(r, theta) = r^5 cos^5 theta + r^3 cos theta sin^2 thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta

Passo 5

Vamos fatorar r^2 tanto no numerador quanto no denominador para simplificar:
f(r, theta) = r^3 (r^2 cos^5 theta + cos theta sin^2 theta)r^2 (r^2 cos^4 theta + sin^2 theta)
Podemos cancelar r^2 do numerador e denominador:
f(r, theta) = r (r^2 cos^5 theta + cos theta sin^2 theta)r^2 cos^4 theta + sin^2 theta

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando r tende a 0. Observe que:
  • No numerador, temos r multiplicando termos que envolvem r^2 e não r , então à medida que r se aproxima de 0, todo o numerador tende a 0.
  • No denominador, r^2 cos^4 theta também tende a 0, deixando apenas sin^2 theta .
Portanto, simplificando:
f(r, theta) approx 0sin^2 theta = 0 quando r to 0

Passo 7

Então, chegamos à conclusão de que:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0
Mas lembramos que f(0, 0) = 3 . Como o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0, que não é igual a 3, isso significa que a função não é contínua em (0,0) .

Resposta

Não, a função f(x, y) não é contínua em (0,0) porque o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0, diferente de f(0,0) = 3 .

Exercícios relacionados