Considere a função f: [-2,7] -> R, dada por f(x) = { 4 - x^2 / 2, para -2 <= x < 4; 2, para 4 <= x <= 7 } Pergunta-se: a função f tem máximo e mínimo (globais ou absolutos) no intervalo [-2, 7] ? Justifique sua resposta.
No caso da resposta a questão ser negativa, pergunta-se: isto contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função definida no intervalo . A gente precisa descobrir se essa função tem um máximo e um mínimo absolutos nesse intervalo. Para resolver isso, vamos usar conceitos do cálculo sobre funções contínuas e analisar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a parte da função definida por para . Essa é uma parábola que abre pra baixo, então ela tem um ponto mais alto. Para encontrar esse máximo, derivamos a função:
Igualando a derivada a zero:
Então, o ponto crítico é . Calculando :
Esse é o máximo local e, nesse caso, também o máximo absoluto no intervalo considerado.

Passo 3

Agora, vamos verificar o mínimo. Olhando a mesma parte da função , vemos que, conforme se aproxima de 4 pela esquerda, tende a:
Mas no ponto , a função muda para e permanece constante até . Ou seja, nunca realmente atinge o valor mínimo no intervalo, já que em o valor sobe para 2. Portanto, não existe um mínimo absoluto nesse intervalo.

Resposta

A função tem um máximo absoluto no intervalo com valor 4, mas não possui um mínimo absoluto nesse intervalo.

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