Considere a função
, dada por
Pergunta-se: a função f tem máximo e mínimo (globais ou absolutos) no intervalo
? Justifique sua resposta.
No caso da resposta a questão ser negativa, pergunta-se: isto contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique sua resposta.
No caso da resposta a questão ser negativa, pergunta-se: isto contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função
definida no intervalo
. A gente precisa descobrir se essa função tem um máximo e um mínimo absolutos nesse intervalo. Para resolver isso, vamos usar conceitos do cálculo sobre funções contínuas e analisar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a parte da função definida por
para
. Essa é uma parábola que abre pra baixo, então ela tem um ponto mais alto. Para encontrar esse máximo, derivamos a função:
Igualando a derivada a zero:
Então, o ponto crítico é
. Calculando
:
Esse é o máximo local e, nesse caso, também o máximo absoluto no intervalo considerado.
Passo 3
Agora, vamos verificar o mínimo. Olhando a mesma parte da função
, vemos que, conforme
se aproxima de 4 pela esquerda,
tende a:
Mas no ponto
, a função muda para
e permanece constante até
. Ou seja,
nunca realmente atinge o valor mínimo
no intervalo, já que em
o valor sobe para 2. Portanto, não existe um mínimo absoluto nesse intervalo.
Resposta
A função
tem um máximo absoluto no intervalo
com valor 4, mas não possui um mínimo absoluto nesse intervalo.