Esboce o gráfico da funçảo
f(x) = x^5 - 5x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de funções polinomiais, que faz parte do Álgebra e do Cálculo. Para fazer isso, vamos precisar analisar alguns aspectos da função, como interceptações, derivadas para encontrar crescimentos e decrescimentos, pontos críticos, concavidades e assim por diante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interceptação da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos e .
  • Interceptação com o eixo : Para encontrar isso, basta calcular .
    Então, o gráfico intercepta o eixo no ponto .
  • Interceptação com o eixo : Para isso, resolvemos .
    Podemos fatorar :
    Assim, ou .
    • .
    • e .
    Então, os pontos de interceptação com o eixo são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta quando vai para e . Isso nos ajuda a entender a tendência das “pontas” do gráfico.
Para funções polinomiais, o comportamento no infinito depende do termo de maior grau:
  • O termo de maior grau aqui é .
  • Como o coeficiente desse termo é positivo e o grau é ímpar, sabemos que:
    • Conforme vai para , também vai para .
    • Conforme vai para , vai para .
Isso nos dá uma ideia geral de como o gráfico começa e termina.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, e identificar possíveis pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
A derivada de é:
Agora, vamos encontrar onde :
Então, ou .
  • .
  • e .
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente analisando o sinal da primeira derivada :
  • Para :
    • Escolha .
    • .
    • Então, a função está crescente.
  • Para :
    • Escolha .
    • .
    • Então, a função está decrescente.
  • Para :
    • Escolha .
    • .
    • Então, a função está decrescente.
  • Para :
    • Escolha .
    • .
    • Então, a função está crescente.

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade do gráfico e encontrar possíveis pontos de inflexão.
A segunda derivada de é:
Vamos encontrar onde :
Então, ou .
  • .
  • e .
Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados por esses valores para ver a concavidade:
  • Para :
    • ⇒ concavidade para cima.
  • Para :
    • ⇒ concavidade para baixo.
  • Para :
    • ⇒ concavidade para baixo.
  • Para :
    • ⇒ concavidade para cima.
Os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão, que nesse caso são , e .

Passo 7

Vamos resumir todas as informações para esboçar o gráfico:
  • Interceptações:
    • Eixo : .
    • Eixo : , , .
  • Comportamento no infinito:
    • , .
    • , .
  • Crescimento e Decrescimento:
    • Crescente em e .
    • Decrescente em e .
  • Concavidade:
    • Concavidade para cima em e .
    • Concavidade para baixo em e .
  • Pontos de inflexão: , , .

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função . O gráfico passa pela origem, intercepta o eixo em , e . Ele cresce para valores muito grandes de positivos e negativos, apresenta regiões de crescimento e decrescimento conforme identificado, e muda de concavidade nos pontos de inflexão. Assim, o esboço refletirá essas características, mostrando um gráfico simétrico em relação à origem com curvas ascendentes e descendentes conforme detalhado.

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