Esboce o gráfico da funçảo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções polinomiais, que faz parte do Álgebra e do Cálculo. Para fazer isso, vamos precisar analisar alguns aspectos da função, como interceptações, derivadas para encontrar crescimentos e decrescimentos, pontos críticos, concavidades e assim por diante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interceptação da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos
e
.
-
Interceptação com o eixo
: Para encontrar isso, basta calcular . Então, o gráfico intercepta o eixono ponto . -
Interceptação com o eixo
: Para isso, resolvemos . Podemos fatorar: Assim,ou . -
dá . -
dá e .
Então, os pontos de interceptação com o eixosão , e . -
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta quando
vai para
e
. Isso nos ajuda a entender a tendência das “pontas” do gráfico.
Para funções polinomiais, o comportamento no infinito depende do termo de maior grau:
- O termo de maior grau aqui é
. - Como o coeficiente desse termo é positivo e o grau é ímpar, sabemos que:
- Conforme
vai para , também vai para . - Conforme
vai para , vai para .
- Conforme
Isso nos dá uma ideia geral de como o gráfico começa e termina.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de
para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, e identificar possíveis pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
A derivada de
é:
Agora, vamos encontrar onde
:
Então,
ou
.
-
dá . -
dá e .
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente analisando o sinal da primeira derivada
:
-
Para
: - Escolha
. -
. - Então, a função está crescente.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
. -
. - Então, a função está decrescente.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
. -
. - Então, a função está decrescente.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
. -
. - Então, a função está crescente.
- Escolha
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade do gráfico e encontrar possíveis pontos de inflexão.
A segunda derivada de
é:
Vamos encontrar onde
:
Então,
ou
.
-
dá . -
dá e .
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados por esses valores para ver a concavidade:
-
Para
: -
⇒ concavidade para cima.
-
-
Para
: -
⇒ concavidade para baixo.
-
-
Para
: -
⇒ concavidade para baixo.
-
-
Para
: -
⇒ concavidade para cima.
-
Os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão, que nesse caso são
,
e
.
Passo 7
Vamos resumir todas as informações para esboçar o gráfico:
-
Interceptações:
- Eixo
: . - Eixo
: , , .
- Eixo
-
Comportamento no infinito:
-
, . -
, .
-
-
Crescimento e Decrescimento:
- Crescente em
e . - Decrescente em
e .
- Crescente em
-
Concavidade:
- Concavidade para cima em
e . - Concavidade para baixo em
e .
- Concavidade para cima em
-
Pontos de inflexão:
, , .
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
. O gráfico passa pela origem, intercepta o eixo
em
,
e
. Ele cresce para valores muito grandes de
positivos e negativos, apresenta regiões de crescimento e decrescimento conforme identificado, e muda de concavidade nos pontos de inflexão. Assim, o esboço refletirá essas características, mostrando um gráfico simétrico em relação à origem com curvas ascendentes e descendentes conforme detalhado.