Utilizando o método de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y=-3 e^2 t, y(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = -3e^2t, y(0)=0,;y'(0)=1
usando o método de Laplace. Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da EDO, usar as condições iniciais e depois retornar ao domínio do tempo por transformada inversa.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados, escrevemos Y(s)= Ly(t). Como
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1,
e Ly=Y(s), e Le^2t=tfrac1s-2, a transformada da EDO é
s^2Y(s)-1 + 4Y(s) = -3cdot1s-2

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s), obtemos
l(s^2+4r)Y(s) = 1 - 3s-2,
ou seja
Y(s) = 1s^2+4 ;-;3(s-2)(s^2+4)

Passo 4

Fazemos frações parciais para
-3(s-2)(s^2+4) = As-2 + Bs+Cs^2+4
Multiplicando em comum denominador:
-3 = A(s^2+4) + (Bs+C)(s-2)
Comparando coeficientes, resolve-se
A=-tfrac38, B=tfrac38, C=tfrac34
Logo
Y(s) = 1s^2+4 ;+; -3/8s-2 ;+;tfrac38s+tfrac34s^2+4

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1ltfrac1s^2+4r = tfrac12sin(2t), L^-1ltfrac-3/8s-2r = -tfrac38e^2t,
L^-1ltfrac3/8,ss^2+4r = tfrac38cos(2t), L^-1ltfrac3/4s^2+4r = tfrac38sin(2t)
Somando os termos de sin(2t):
tfrac12+tfrac38 = tfrac48+tfrac38 = tfrac78
Portanto a solução no tempo é
y(t) = -tfrac38e^2t ;+;tfrac38cos(2t);+;tfrac78sin(2t)

Resposta

boxedy(t) = -tfrac38e^2t + tfrac38cos(2t) + tfrac78sin(2t)

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