(a) Determine f(-1) e f(1).
(b) lim x -1^+ f(x)
(c) lim x 0^- f(x)
(d) lim x 0^+ f(x)
(e) lim x 1^- f(x)
(f) lim x 1^+ f(x)
(g) lim x 2^- f(x)
(h) lim x 2^+ f(x)
(i) Esboce o gráfico da função.
(j) Para quais valores de x a função é descontínua?
Passo 1
O enunciado dá uma função definida em pedaços em [-1,0), (0,1), 1, (1,2) e (2,3). Precisamos (a) avaliar f(-1) e f(1), (b–h) calcular limites unilaterais em -1,0,1,2, (i) esboçar o gráfico e (j) identificar onde f é descontínua. Vamos usar substituição direta e o fato de que cada rama é contínua em seu interior.
Passo 2
Para f(-1) o ramo aplicável é -1<= x<0, isto é f(x)=x^2-1. Logo
f(-1)=(-1)^2-1=0
Para f(1) está explícito f(1)=1.
Passo 3
Como x^2-1 é contínua,
limxto -1^+f(x)=(-1)^2-1=0
Ainda para xto0^- (mesmo ramo),
limxto0^-f(x)=0^2-1=-1
E para xto0^+, usa-se f(x)=2x, então
limxto0^+f(x)=2cdot0=0
Passo 4
Para xto1^- vale f(x)=2x, logo
limxto1^-f(x)=2cdot1=2
Para xto1^+ vale f(x)=-2x+4, logo
limxto1^+f(x)=-2cdot1+4=2
Passo 5
Para xto2^- usamos f(x)=-2x+4, então
limxto2^-f(x)=-2cdot2+4=0
Para xto2^+ vale f(x)=0, logo
limxto2^+f(x)=0
Passo 6
O gráfico de f fica assim:
A parábola y=x^2-1 de x=-1 (incluso, ponto (-1,0)) até x=0 (aberto, em (0,-1)).
A reta y=2x em 0<x<1 (de (0,0) aberto a (1,2) aberto).
O ponto isolado (1,1).
A reta y=-2x+4 em 1<x<2 (de (1,2) aberto a (2,0) aberto).
A reta horizontal y=0 em 2<x<3 (de (2,0) aberto a (3,0) aberto).
Passo 7
f falha em ser contínua onde ou não está definida no ponto ou o valor não coincide com o limite. Isso ocorre em
x=0, x=1, x=2
Resposta
(a) f(-1)=0, f(1)=1
(b) limxto-1^+f(x)=0
(c) limxto0^-f(x)=-1
(d) limxto0^+f(x)=0
(e) limxto1^-f(x)=2
(f) limxto1^+f(x)=2
(g) limxto2^-f(x)=0
(h) limxto2^+f(x)=0
(i) Gráfico conforme descrito no passo 6.
(j) f é descontínua em x=0,1,2.