Faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de
indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
.
Passo 1
O enunciado pede para traçar a curva em coordenadas polares
e, para essa curva, determinar:
(i) pontos inicial e final;
(ii) se a curva é fechada;
(iii) o sentido de percor
(i) pontos inicial e final;
(ii) se a curva é fechada;
(iii) o sentido de percor
re
ção, caso seja fechada;
(iv) se há autointerseções;
(v) o número de regiões limitadas pela curva.
O conteúdo necessário é geometria em coordenadas polares e propriedades de curvas fechadas.
(iv) se há autointerseções;
(v) o número de regiões limitadas pela curva.
O conteúdo necessário é geometria em coordenadas polares e propriedades de curvas fechadas.
Passo 2
Em coordenadas polares, a equação
representa um círculo de raio
centrado na origem. Conforme
varia de
a
, o ponto descreve esse círculo duas vezes completas.
Passo 3
Para obter as coordenadas cartesianas, usamos
Em
temos
isto é, ponto
.
Em temos
e
, produzindo o mesmo ponto
.
Em
Passo 4
Como o ponto final coincide com o inicial, a curva é fechada. O sentido de percurso segue o aumento de
, ou seja, sentido convencional anti-horário (contra-horário).
Passo 5
A curva percorre o mesmo círculo duas vezes; todo ponto do círculo é visitado em dois valores distintos de
. Logo, há autointerseções em infinitos pontos (sobreposição completa).
Passo 6
Um círculo simples divide o plano em duas regiões: uma interior (limitada) e outra exterior (não limitada). Assim, o número de regiões limitadas é
.
Resposta
(i)
é ponto inicial (
) e final (
).
(ii) A curva é fechada.
(iii) O sentido é anti-horário.
(iv) Há autointerseções em infinitos pontos (a volta dupla sobrepõe o círculo).
(v) Há exatamente uma região limitada (o interior do círculo).
(ii) A curva é fechada.
(iii) O sentido é anti-horário.
(iv) Há autointerseções em infinitos pontos (a volta dupla sobrepõe o círculo).
(v) Há exatamente uma região limitada (o interior do círculo).