Faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de theta indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
r=2, theta in[0,4 pi].

Passo 1

O enunciado pede para traçar a curva em coordenadas polares
r = 2, thetain[0,4pi]
e, para essa curva, determinar:
(i) pontos inicial e final;
(ii) se a curva é fechada;
(iii) o sentido de percor
re
ção, caso seja fechada;
(iv) se há autointerseções;
(v) o número de regiões limitadas pela curva.
O conteúdo necessário é geometria em coordenadas polares e propriedades de curvas fechadas.

Passo 2

Em coordenadas polares, a equação r=2 representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Conforme theta varia de 0 a 4pi, o ponto descreve esse círculo duas vezes completas.

Passo 3

Para obter as coordenadas cartesianas, usamos
x = rcostheta = 2costheta, y = rsintheta = 2sintheta
Em theta=0 temos
x=2cos0=2, y=2sin0=0,
isto é, ponto (2,0).
Em theta=4pi temos cos4pi=1 e sin4pi=0, produzindo o mesmo ponto (2,0).

Passo 4

Como o ponto final coincide com o inicial, a curva é fechada. O sentido de percurso segue o aumento de theta, ou seja, sentido convencional anti-horário (contra-horário).

Passo 5

A curva percorre o mesmo círculo duas vezes; todo ponto do círculo é visitado em dois valores distintos de theta. Logo, há autointerseções em infinitos pontos (sobreposição completa).

Passo 6

Um círculo simples divide o plano em duas regiões: uma interior (limitada) e outra exterior (não limitada). Assim, o número de regiões limitadas é 1.

Resposta

(i) (2,0) é ponto inicial ( theta=0) e final ( theta=4pi).
(ii) A curva é fechada.
(iii) O sentido é anti-horário.
(iv) Há autointerseções em infinitos pontos (a volta dupla sobrepõe o círculo).
(v) Há exatamente uma região limitada (o interior do círculo).

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