A integral de linha ointC x y d y-y^2 d x, onde C eh o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x=1 e y=1, eh igual a:
1,5
-1
3
2
0

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC x,y,dy ;-;y^2,dx
onde C é o contorno orientado positivamente do quadrado no primeiro quadrante definido por 0<= x<=1 e 0<= y<=1. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região.

Passo 2

Escrevemos a forma diferencial como
P(x,y),dx + Q(x,y),dy
onde, comparando, temos
P(x,y) = -y^2, Q(x,y) = x,y

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = y, partial Ppartial y = -2y,
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partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - (-2y) = 3y

Passo 4

A região R é o quadrado [0,1]times[0,1]. Assim a integral dupla fica
integral duplaR 3y,dA =3integraly=0^1integralx=0^1y,dx,dy =3integral0^1yl[integral0^1dxr]dy =3integral0^1y,dy

Passo 5

Calculando a integral em y:
3integral0^1y,dy =3l[y^22r]0^1 =32

Resposta

1,5

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