Faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de theta indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
theta=pi4, r in[-raiz2, 3].

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da curva em coordenadas polares dada por
theta = pi4, rinl[-raiz2,3r]
Ou seja, é o segmento do raio na direção pi/4, incluindo valores negativos de r. Vamos converter para coordenadas cartesianas para identificar os pontos inicial e final, e em seguida responder às questões (ii)–(v).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
x = rcos!l(pi4r)=raiz22,r, y = rsin!l(pi4r)=raiz22,r
Para r=-raiz2
x=-raiz2cdotraiz22=-1, y=-1,
logo o ponto inicial é l(-1,-1r).
Para r=3
x=3cdotraiz22=3raiz22, y=3raiz22,
logo o ponto final é l(tfrac3raiz22,tfrac3raiz22r).

Passo 3

A curva vai de r=-raiz2 a r=0 (passando pelo ponto (0,0)) e depois de r=0 a r=3. Isso é um único arco (reta) sem fechar em si mesma.

Passo 4

Não há autointerseções: a curva é apenas um segmento de reta que atravessa a origem uma única vez, sem cruzar outro trecho de si mesma.

Passo 5

Como não forma nenhuma região fechada delimitada, o número de regiões limitadas é zero.

Resposta

(i) ponto inicial l(-1,-1r), ponto final l(tfrac3raiz22,tfrac3raiz22r)
(ii) não é fechada
(iii) não se aplica
(iv) não possui autointerseções
(v) determina 0 regiões limitadas

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