Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=81 xx^3+1, quando (2,18)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função f(x) = 81xx^3 + 1 no ponto (2, 18). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação da reta tangente a uma função em um ponto dado. A fórmula geral para a reta tangente é:
y - y0 = m(x - x0)
Onde:
  • (x0, y0) é o ponto de tangência.
  • m é a inclinação da reta tangente, que é a derivada da função no ponto x0.
Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de f(x).

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = 81xx^3 + 1 . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
ddx ( uv ) = u'v - uv'v^2
Aqui, u = 81x e v = x^3 + 1 . Vamos encontrar u' e v' :
u' = ddx(81x) = 81
v' = ddx(x^3 + 1) = 3x^2

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 81(x^3 + 1) - 81x(3x^2)(x^3 + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
81(x^3 + 1) - 81x(3x^2) = 81x^3 + 81 - 243x^3 = -162x^3 + 81
Então, a derivada fica:
f'(x) = -162x^3 + 81(x^3 + 1)^2

Passo 5

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = 2:
f'(2) = -162(2)^3 + 81(2^3 + 1)^2 = -162 times 8 + 81(8 + 1)^2 = -1296 + 8181 = -121581 = -15
Então, a inclinação m da reta tangente é -15.

Passo 6

Agora que temos a inclinação m = -15 e o ponto de tangência (2, 18), vamos usar a fórmula da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo os valores:
y - 18 = -15(x - 2)

Passo 7

Vamos simplificar a equação para a forma y = mx + b :
y - 18 = -15x + 30
y = -15x + 30 + 18
y = -15x + 48

Resposta

A reta tangente à função f(x) = 81xx^3 + 1 no ponto (2, 18) é:
y = -15x + 48

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