Questão 11. Use integração por partes para resolver as integrais:
integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) , dx. A gente vai usar integração por partes para resolver isso. Pra isso, precisamos lembrar da fórmula da integração por partes e identificar quais partes da expressão vamos separar como u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula é útil quando temos o produto de duas funções, como no nosso caso ( ln(x) e 16x^3 + 4x + 1).

Passo 3

Agora, vamos escolher o que será u e o que será dv:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
dv = (16x^3 + 4x + 1) , dx Rightarrow v = integral (16x^3 + 4x + 1) , dx

Passo 4

Vamos calcular v:
v = integral 16x^3 , dx + integral 4x , dx + integral 1 , dx = 4x^4 + 2x^2 + x + C
Como vamos usar essa expressão na fórmula, a constante C pode ser descartada por enquanto.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (16x^3 + 4x + 1) ln(x) , dx = ln(x) cdot (4x^4 + 2x^2 + x) - integral (4x^4 + 2x^2 + x) cdot 1x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral (4x^4 + 2x^2 + x) cdot 1x , dx = integral (4x^3 + 2x + 1) , dx

Passo 7

Agora, resolvemos essa nova integral:
integral 4x^3 , dx = x^4
integral 2x , dx = x^2
integral 1 , dx = x
Então,
integral (4x^3 + 2x + 1) , dx = x^4 + x^2 + x + C

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
ln(x) cdot (4x^4 + 2x^2 + x) - (x^4 + x^2 + x) + C

Resposta

A integral resolvida é:
(4x^4 + 2x^2 + x) ln(x) - x^4 - x^2 - x + C

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