Considere a função abaixo e responda:

Para que valores de a função é contínua em 1?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de [b) para os quais a função é contínua em . A função está definida por partes:
Para garantir a continuidade em quando se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao valor da função em 1 ( ) e também igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x to 1^- ):
limx to 1^- (1 - x + e^(x-1) cdot sin(x-1))
Para facilitar, substituímos y = x - 1 . Assim, quando x to 1^- , y to 0^- . A expressão fica:
1 - (1 + y) + e^y cdot sin(y) = -y + e^y cdot sin(y)
Sabemos que quando y to 0 :
e^y approx 1 + y e sin(y) approx y
Multiplicando essas aproximações:
e^y cdot sin(y) approx (1 + y) cdot y = y + y^2
Então:
-y + e^y cdot sin(y) approx -y + y + y^2 = y^2
Como y^2 tende a 0 quando y to 0 , concluímos que:
limx to 1^- f(x) = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pela direita ( x to 1^+ ):
limx to 1^+ sin^2(x-1)x-1
Substituindo novamente y = x - 1 , temos:
limy to 0^+ sin^2(y)y
Podemos reescrever isso como:
sin(y) cdot sin(y)y
Sabemos que:
limy to 0 sin(y)y = 1 e limy to 0 sin(y) = 0
Portanto:
limy to 0^+ sin(y) cdot sin(y)y = 0 cdot 1 = 0
Assim:
limx to 1^+ f(x) = 0

Passo 4

Para a função f ser contínua em x = 1 , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor de f(1) . Ou seja:
limx to 1^- f(x) = f(1) = limx to 1^+ f(x)
Substituindo os valores que encontramos:
0 = b = 0

Resposta

O valor de b que torna a função contínua em x = 1 é b = 0 .

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