Resolva as integrais:
integral raizx^2-9x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizx^2-9x^3,dx
Este é um problema de integração que fica mais fácil se fizermos a substituição trigonométrica
x = 3sec t,
pois aí raizx^2-9 vira 3tan t e teremos funções trigonométricas básicas para integrar.

Passo 2

Fazendo x=3sec t temos
dx = 3sec ttan t,dt, raizx^2-9 = 3tan t, x^3 = (3sec t)^3 = 27sec^3 t
Substituindo na integral, o numerador fica
raizx^2-9,dx = 3tan t;l(3sec ttan t,dtr) =9sec t,tan^2 t,dt,
e o denominador é 27sec^3 t. Logo
integral raizx^2-9x^3,dx =integral 9sec t,tan^2 t27sec^3 t,dt =integral 13,tan^2 t,sec^-2t,dt =13integral sin^2 t,dt,
pois tan^2 t,sec^-2t=(sin^2t/cos^2t)cdotcos^2t=sin^2t.

Passo 3

Para integrar sin^2 t usamos a identidade de meio-ângulo
sin^2 t = 1-cos2t2
Assim
13integral sin^2 t,dt =13integral 1-cos2t2,dt =16integral (1-cos2t),dt =16l(t - tfracsin2t2r)+C =t6-sin2t12+C

Passo 4

Agora voltamos a . Como , temos
Além disso
Logo

Passo 5

Substituindo em , obtemos

Resposta

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