Considere a função f(x) adiante:
f(x)=2 x^5-6 x^4+6 x^3-2 x^2x^2(x-1)^3
Simplifique a expressão f(x). (Dica: Caso chegue num número, não se esqueça de informal qual(is) valor(es) de x a função não está definida, caso eles existam.

Passo 1

Então, a gente tem essa função aí:
f(x)=2 x^5-6 x^4+6 x^3-2 x^2x^2(x-1)^3
A gente vai simplificar essa expressão. Para isso, vamos usar conhecimentos de fatoração e simplificação de frações algébricas. Vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para identificar e cancelar os termos comuns.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador:
2x^5-6x^4+6x^3-2x^2
Percebe que todos os termos têm um fator comum, que é 2x^2. Então, vamos fatorar isso:
2x^2(x^3 - 3x^2 + 3x -1)

Passo 3

Agora, vamos focar na parte que ficou dentro dos parênteses:
x^3 - 3x^2 + 3x -1
Essa expressão é um cubo perfeito, ou seja, ela pode ser reescrita como (x - 1)^3. Vamos verificar:
(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x -1
Então, o numerador fica:
2x^2(x - 1)^3

Passo 4

Vamos agora olhar para o denominador da função original:
x^2(x-1)^3
Vemos que o denominador já está fatorado. Agora, nossa função fica:
f(x) = 2x^2(x - 1)^3x^2(x-1)^3

Passo 5

Agora, podemos cancelar os termos iguais que estão no numerador e no denominador:
2cancelx^2cancel(x - 1)^3cancelx^2cancel(x-1)^3 = 2

Resposta

A função simplificada é:
f(x) = 2
Mas é importante lembrar que a função original não está definida para x = 0 e x = 1, porque aí o denominador é zero.

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