Considere a função analítica f: R R definida por
f(x)=ll sinh (x)x & se x neq 0 1 & se x=0
Lembrando que
sinh (x)=e^x-e^-x2
encontre:
b) o valor da série sumj=1^+infty pi^j(2 j+1)!.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série sumj=1^inftypi^j(2j+1)! usando a expansão de Taylor de uma função analítica.

Passo 2

Sabemos que sinh(x)=sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1)!. Logo, dividindo por x obtemos a série de f(x)=sinh(x)x como
f(x)=sinh(x)x=sumn=0^inftyx^2n(2n+1)!

Passo 3

Se escolhermos x=raizpi, então
f(raizpi)=sumn=0^inftypi^n(2n+1)!

Passo 4

Mas a série que queremos começa em j=1. O termo n=0 dessa soma é pi^0/(2·0+1)!=1, então
sumj=1^inftypi^j(2j+1)!=f(raizpi)-1

Passo 5

Como f(x)=sinh(x)/x, temos f(raizpi)=sinh(raizpi)/raizpi.

Resposta

sumj=1^inftypi^j(2j+1)!=sinh(raizpi)raizpi - 1

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