Nos problemas seguintes, determine se as equações diferenciais são homogêneas a, a) afirmativo, resolva-as.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
y’ = \frac{y}{x + \sqrt{x y}}
Vamos identificar o tipo (homogênea ou não) e, se for homogênea, usar a substituição y = u x para resolver.
y’ = \frac{y}{x + \sqrt{x y}}
Vamos identificar o tipo (homogênea ou não) e, se for homogênea, usar a substituição y = u x para resolver.
Passo 2
Para testar homogeneidade, escrevemos f(x,y)=\frac{y}{x+\sqrt{x y}}. No denominador fatoramos x:
x+\sqrt{x y}=x\bigl(1+\sqrt{y/x}\bigr). Logo
x+\sqrt{x y}=x\bigl(1+\sqrt{y/x}\bigr). Logo
que depende só de u=y/x. Portanto a equação é homogênea.
Passo 3
Fazendo y=ux implica y’=u + x,du/dx. Substituindo em y’=f(x,y) obtemos
Passo 4
Isolamos du/dx e simplificamos:
logo
Passo 5
Separamos variáveis:
Passo 6
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
e no direito:
Juntando constantes (C=C_2-C_1) temos
Passo 7
Voltando a y: somamos \ln|u|+\ln|x|=\ln|ux|=\ln|y| e usamos \sqrt{u}=\sqrt{y/x}, obtendo a solução implícita
Resposta
A solução geral (implícita) é