Nos problemas seguintes, determine se as equações diferenciais são homogêneas a, a) afirmativo, resolva-as.
5.17 y^prime=yx+raizx y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
y’ = \frac{y}{x + \sqrt{x y}}
Vamos identificar o tipo (homogênea ou não) e, se for homogênea, usar a substituição y = u x para resolver.

Passo 2

Para testar homogeneidade, escrevemos f(x,y)=\frac{y}{x+\sqrt{x y}}. No denominador fatoramos x:
x+\sqrt{x y}=x\bigl(1+\sqrt{y/x}\bigr). Logo
f(x,y)=yx(1+raizy/x)=y/x1+raizy/x,
que depende só de u=y/x. Portanto a equação é homogênea.

Passo 3

Fazendo y=ux implica y’=u + x,du/dx. Substituindo em y’=f(x,y) obtemos
u + xdudx=u1+raizu

Passo 4

Isolamos du/dx e simplificamos:
xdudx=u1+raizu-u= -uraizu1+raizu,
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dudx=-uraizux(1+raizu)

Passo 5

Separamos variáveis:
1+raizuuraizu,du = -dxx

Passo 6

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
integrall(u^-3/2+u^-1r)du = -2u^-1/2+ln|u| + C1,
e no direito:
-integraldxx=-ln|x|+C2
Juntando constantes (C=C_2-C_1) temos
-2raizu+ln|u|=-ln|x|+C

Passo 7

Voltando a y: somamos \ln|u|+\ln|x|=\ln|ux|=\ln|y| e usamos \sqrt{u}=\sqrt{y/x}, obtendo a solução implícita
ln|y|-2raizxy=C

Resposta

A solução geral (implícita) é
ln|y|-2raiztfracxy=C

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