1. A equação x^2-3 x+2=0 pode ser reescrita como x=G(x) de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes x=1, 2 e faça os gráficos de convergência y=G(x) superposto à reta y=x para os seguintes casos:
    (a) xn+1=(xn^2+2) / 3
    (b) xn+1=raiz3 xn-2

Passo 1

O enunciado trata de aplicar o método do ponto-fixo à equação x^2-3x+2=0, cujas raízes são x=1 e x=2, escrevendo x=G(x) de duas formas diferentes:
(a) ;G1(x)=x^2+23
(b) ;G2(x)=raiz3x-2.
Precisamos determinar, para cada forma, a região de convergência ao redor de cada raiz usando o critério lvert G'(x)rvert<1 e depois esboçar qualitativamente o gráfico de y=G(x) superposto a y=x.

Passo 2

Anotemos o critério de convergência local do ponto-fixo: se em alguma vizinhança de uma raiz alpha vale
lvert G'(alpha)rvert<1,
então iterações xn+1=G(xn) convergem para alpha quando x0 estiver nessa vizinhança. Fora disso, divergem.

Passo 3

Analisemos o caso (a):
G1(x)=x^2+23 Longrightarrow G1'(x)=2x3
O critério lvert G1'(x)rvert<1
l|2x3r|<1 Long<=ftrightarrow |x|<32
Assim, em todo xinl(-tfrac32,tfrac32r) temos convergência local.

Passo 4

Agora avaliamos em torno de cada raiz:
  • Para alpha=1, como 1in(-tfrac32,tfrac32) e l|G1'(1)r|=tfrac23<1, há convergência para a raiz 1 sempre que x0in(-tfrac32,tfrac32).
  • Para alpha=2, como 2notin(-tfrac32,tfrac32) e l|G1'(2)r|=tfrac43>1, não há convergência para a raiz 2.

Passo 5

Analisemos o caso (b):
G2(x)=raiz3x-2,
com domínio x>=23. Calculamos
G2'(x)=32raiz3x-2
Impondo lvert G2'(x)rvert<1
32raiz3x-2<1 Longrightarrow raiz3x-2>32 Longrightarrow 3x-2>94 Longrightarrow x>1712approx1,4167
Então, para x>tfrac1712 as iterações convergem.

Passo 6

Em torno de cada raiz de (b):
  • Para alpha=1, como 1<tfrac1712 e G2'(1)=tfrac32>1, não há convergência para a raiz 1.
  • Para alpha=2, como 2>tfrac1712 e G2'(2)=tfrac34<1, há convergência para a raiz 2 sempre que x0>tfrac1712.

Passo 7

Esboço qualitativo dos gráficos:
(a) y=G1(x)=tfracx^2+23 é uma parábola voltada para cima. Ela cruza y=x em x=1 e x=2. A inclinação em x=1 é menor que 1, garantindo atração, e em x=2 é maior que 1, gerando repulsão.
(b) y=G2(x)=raiz3x-2 é a raiz quadrada deslocada. Ela toca y=x em x=1 e x=2. A derivada em x=1 excede 1 (diverge), e em x=2 é menor que 1 (converge).
Em ambos os casos, a reta y=x mostra onde estão as fixas, e o critério lvert G'(x)rvert<1 identifica junto ao gráfico as regiões de atração.

Resposta

(a) Para G1(x)=(x^2+2)/3:
converge para x=1 se x0inl(-tfrac32,tfrac32r); não converge para x=2.
(b) Para G2(x)=raiz3x-2:
converge para x=2 se x0>tfrac1712; não converge para x=1.

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