A equação pode ser reescrita como de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes , 2 e faça os gráficos de convergência superposto à reta para os seguintes casos:
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata de aplicar o método do ponto-fixo à equação , cujas raízes são e , escrevendo de duas formas diferentes:
(a) (b).
Precisamos determinar, para cada forma, a região de convergência ao redor de cada raiz usando o critério e depois esboçar qualitativamente o gráfico de superposto a .
Passo 2
Anotemos o critério de convergência local do ponto-fixo: se em alguma vizinhança de uma raiz vale
então iterações convergem para quando estiver nessa vizinhança. Fora disso, divergem.
Passo 3
Analisemos o caso (a):
O critério dá
Assim, em todo xinl(-tfrac32,tfrac32r) temos convergência local.
Passo 4
Agora avaliamos em torno de cada raiz:
Para alpha=1, como 1in(-tfrac32,tfrac32) e l|G1'(1)r|=tfrac23<1, há convergência para a raiz 1 sempre que x0in(-tfrac32,tfrac32).
Para alpha=2, como 2notin(-tfrac32,tfrac32) e l|G1'(2)r|=tfrac43>1, não há convergência para a raiz 2.
Para alpha=1, como 1<tfrac1712 e G2'(1)=tfrac32>1, não há convergência para a raiz 1.
Para alpha=2, como 2>tfrac1712 e G2'(2)=tfrac34<1, há convergência para a raiz 2 sempre que x0>tfrac1712.
Passo 7
Esboço qualitativo dos gráficos:
(a) y=G1(x)=tfracx^2+23 é uma parábola voltada para cima. Ela cruza y=x em x=1 e x=2. A inclinação em x=1 é menor que 1, garantindo atração, e em x=2 é maior que 1, gerando repulsão.
(b) y=G2(x)=raiz3x-2 é a raiz quadrada deslocada. Ela toca y=x em x=1 e x=2. A derivada em x=1 excede 1 (diverge), e em x=2 é menor que 1 (converge).
Em ambos os casos, a reta y=x mostra onde estão as fixas, e o critério lvert G'(x)rvert<1 identifica junto ao gráfico as regiões de atração.
Resposta
(a) Para G1(x)=(x^2+2)/3:
converge para x=1 se x0inl(-tfrac32,tfrac32r); não converge para x=2.
(b) Para G2(x)=raiz3x-2:
converge para x=2 se x0>tfrac1712; não converge para x=1.