O trabalho consiste em apresentar a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear de 2^circ ordem:
y^prime prime+2 y^prime+y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 0,
sob as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3. O conteúdo é resolução de ODE homogênea usando equação característica.

Passo 2

Vamos montar a equação característica associada, substituindo y=e^rt, o que leva a
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 + 2r + 1 = 0, notamos que (r+1)^2=0, ou seja, há raiz dupla r=-1. Para raiz dupla, a solução geral é
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Agora vamos calcular y'(t) para usar a condição inicial em y'. Derivando,
y'(t) = ddtl[(C1 + C2,t)e^-tr] = C2 e^-t - (C1 + C2,t)e^-t = e^-tl(C2 - C1 - C2,tr)

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1=2,
y'(0)=C2 - C1 = -3
Como C1=2, temos C2 - 2 = -3, logo C2 = -1.

Passo 6

Substituindo C1=2 e C2=-1 na solução geral, obtemos
y(t) = (2 - t)e^-t

Resposta

y(t) = (2 - t)e^-t

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