Considere a função
f(x)=4 x+8(x-3)^4
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321. e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar 5/300
  • ou 13.07976 para representar 2 ln (10)+3 pi(9-e^2)-3 raiz5=13.0797548283…(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) 2* ln (10)+3^* pi* (9-exp (2) )- 3^* sqrt(5) diretamente no Google por exemplo)
    Determine as constantes A, B, C e D tais que
f(x)=4 x+8(x-3)^4=Ax-3+B(x-3)^2+C(x-3)^3+D(x-3)^4
e insira os valores a seguir
A=square, B=square, C=square e D=square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função racional:
f(x)=4 x+8(x-3)^4
O que a gente precisa fazer é decompor essa função em frações mais simples, conhecidas como frações parciais. Isso vai nos ajudar a entender melhor a função e a resolver problemas relacionados a ela. Para isso, vamos encontrar as constantes $ A, B, C $ e $ D $ que satisfazem:
A, B, C

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo denominador comum (x-3)^4 para eliminar as frações. Assim, temos:
4x + 8 = A(x-3)^3 + B(x-3)^2 + C(x-3) + D

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos do lado direito. Para facilitar, vamos calcular cada parcela separadamente:
  1. $ A(x-3)^{3} = A(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) $
  2. $ B(x-3)^{2} = B(x^2 - 6x + 9) $
  3. $ C(x-3) = Cx - 3C $
  4. $ D $ permanece como está.
Então, juntando tudo:
A(x-3)^3 = A(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes do lado direito:
4x + 8 = A x^3 + (-9A + B) x^2 + (27A - 6B + C) x + (-27A + 9B - 3C + D)

Passo 5

Como o lado esquerdo da equação é 4x + 8, que é um polinômio de primeiro grau, os coeficientes dos termos de grau maior no lado direito devem ser zero para que as duas expressões sejam iguais para todo x. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Coeficiente de x^3: $ A = 0 $
  2. Coeficiente de A = 0 : $ -9A + B = 0 $
  3. Coeficiente de x^2: $ 27A - 6B + C = 4 $
  4. Termo constante: $ -27A + 9B - 3C + D = 8 $

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação: $ A = 0 $
  2. Substituindo $ A = 0 $ na segunda equação: $ -9(0) + B = 0 $ => $ B = 0 $
  3. Substituindo $ A = 0 $ e $ B = 0 $ na terceira equação: $ 27(0) - 6(0) + C = 4 $ => $ C = 4 $
  4. Substituindo $ A = 0 $, $ B = 0 $ e $ C = 4 $ na quarta equação: $ -27(0) + 9(0) - 3(4) + D = 8 $ => $ -12 + D = 8 $ => $ D = 20 $

Resposta

A=0, B=0, C=4 e D=20

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