Considere a função
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321. e portanto escreva
- 0.0166666 para representar 5/300
- ou 13.07976 para representar
…(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) 2*
pi*
)-
sqrt(5) diretamente no Google por exemplo)
Determine as constantes
e
tais que
e insira os valores a seguir
Determine as constantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função racional:
O que a gente precisa fazer é decompor essa função em frações mais simples, conhecidas como frações parciais. Isso vai nos ajudar a entender melhor a função e a resolver problemas relacionados a ela. Para isso, vamos encontrar as constantes $ A, B, C $ e $ D $ que satisfazem:
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir os termos do lado direito. Para facilitar, vamos calcular cada parcela separadamente:
- $ A(x-3)^{3} = A(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) $
- $ B(x-3)^{2} = B(x^2 - 6x + 9) $
- $ C(x-3) = Cx - 3C $
- $ D $ permanece como está.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes do lado direito:
Passo 5
Como o lado esquerdo da equação é
, que é um polinômio de primeiro grau, os coeficientes dos termos de grau maior no lado direito devem ser zero para que as duas expressões sejam iguais para todo
. Isso nos dá um sistema de equações:
- Coeficiente de
: $ A = 0 $ - Coeficiente de
: $ -9A + B = 0 $ - Coeficiente de
: $ 27A - 6B + C = 4 $ - Termo constante: $ -27A + 9B - 3C + D = 8 $
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo:
- Da primeira equação: $ A = 0 $
- Substituindo $ A = 0 $ na segunda equação: $ -9(0) + B = 0 $ => $ B = 0 $
- Substituindo $ A = 0 $ e $ B = 0 $ na terceira equação: $ 27(0) - 6(0) + C = 4 $ => $ C = 4 $
- Substituindo $ A = 0 $, $ B = 0 $ e $ C = 4 $ na quarta equação: $ -27(0) + 9(0) - 3(4) + D = 8 $ => $ -12 + D = 8 $ => $ D = 20 $