Considere a função f(x, y)=5 x^2+5 y^2.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de f.

Passo 1

Beleza, a gente vai analisar as curvas de nível da função f(x, y) = 5x^2 + 5y^2 . Curvas de nível são aquelas que juntam todos os pontos (x, y) que dão o mesmo valor para a função. Para isso, vamos precisar entender o que são essas curvas e como identificar qual tipo de curva representa a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma curva de nível. É uma curva no plano onde a função f(x, y) assume um valor constante, ou seja, para um número fixo c , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem f(x, y) = c .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos que a curva de nível para um valor c é:
5x^2 + 5y^2 = c
Vamos simplificar essa equação para facilitar a identificação da curva.

Passo 4

Dividindo todos os termos por 5, a equação fica:
x^2 + y^2 = c5
Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0, 0) e raio igual a raizc5 .

Passo 5

Então, para cada valor positivo de c , a curva de nível é um círculo com raio raizc5 . Isso significa que, conforme c aumenta, os círculos ficam maiores, mas sempre centralizados na origem.

Resposta

As curvas de nível da função f(x, y) = 5x^2 + 5y^2 são círculos centrados na origem com raio igual a raizc5 para cada valor positivo de c .

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