Considere a função
.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de
.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de
Passo 1
Beleza, a gente vai analisar as curvas de nível da função
. Curvas de nível são aquelas que juntam todos os pontos
que dão o mesmo valor para a função. Para isso, vamos precisar entender o que são essas curvas e como identificar qual tipo de curva representa a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma curva de nível. É uma curva no plano onde a função
assume um valor constante, ou seja, para um número fixo
, a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos que a curva de nível para um valor
é:
Vamos simplificar essa equação para facilitar a identificação da curva.
Passo 4
Dividindo todos os termos por 5, a equação fica:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio igual a
.
Passo 5
Então, para cada valor positivo de
, a curva de nível é um círculo com raio
. Isso significa que, conforme
aumenta, os círculos ficam maiores, mas sempre centralizados na origem.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos centrados na origem com raio igual a
para cada valor positivo de
.