Use derivação implicita para determinar d yd x nas seguintes expressões
cos (x)+cotg(y)=e^x y.

Passo 1

O enunciado define a relação implícita
cos(x) + cot(y) = e^x y
e pede dydx. Para isso vamos derivar ambos os lados em relação a x usando:
  • ddx[cos(x)],
  • ddx[cot(y)] (regra da cadeia),
  • ddx[e^xy] (regra da cadeia + produto).

Passo 2

Diferenciando em x cada termo:
ddx[cos(x)] = -sin(x), ddx[cot(y)] = -csc^2(y),dydx, ddx[e^xy] = e^xy,ddx(x y)=e^xy,(y + x,tfracdydx)
Portanto
-sin(x);-;csc^2(y),dydx ;=; e^xy,y ;+;e^xy,x,dydx

Passo 3

Juntamos os termos com tfracdydx num só lado:
-csc^2(y),dydx;-;e^xy,x,dydx ;=; e^xy,y ;+;sin(x)
Fatorando tfracdydx:
dydx,l(-csc^2(y)-x,e^xyr) = e^xy,y + sin(x),
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dydx = e^xy,y + sin(x)-csc^2(y)-x,e^xy

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador por -1 para simplificar o sinal:
dydx = -e^xy,y + sin(x)x,e^xy + csc^2(y)

Resposta

boxed dydx = -e^xy,y + sin(x)x,e^xy + csc^2(y)

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