Exercício 6 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais usando regra da cadeia e produto. Vamos primeiro achar as primeiras derivadas parciais e depois derivar de novo.
Passo 2
Calculando
:
- Para
, defina . Então
- Para
, a derivada em é zero. - Para
, use regra do produto:
Logo,
Passo 3
Calculando
:
- Para
, usando de novo,
- Para
,
- Para
, independe de , dá zero.
Portanto,
Passo 4
Calculando
: derive
em relação a
.
- Para
, note que é constante em . Use produto e cadeia:
- Para
, . - Para
,
Somando tudo,
Passo 5
Calculando
: derive
em relação a
.
Apenas o primeiro termo depende de :
Apenas o primeiro termo depende de
Os outros termos são independentes de
. Logo,
Passo 6
Calculando
: derive
em relação a
.
- Para
, similar ao passo anterior:
- Para
, dá .
Logo,