Exercício 6 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f(x, y)=e^x^2 e^y-y^3+x cos x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=e^x^2e^y-y^3+xcos x
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais usando regra da cadeia e produto. Vamos primeiro achar as primeiras derivadas parciais e depois derivar de novo.

Passo 2

Calculando partial fpartial x:
  • Para e^x^2e^y, defina u(x,y)=x^2e^y. Então
partialpartial xe^u=e^u,partial upartial x =e^x^2e^y,(2x e^y)
  • Para -y^3, a derivada em x é zero.
  • Para xcos x, use regra do produto:
ddx(xcos x)=1cdotcos x + xcdot(-sin x) =cos x - xsin x
Logo,
partial fpartial x =2x e^ye^x^2e^y+cos x - xsin x

Passo 3

Calculando partial fpartial y:
  • Para e^x^2e^y, usando u(x,y)=x^2e^y de novo,
partialpartial ye^u =e^u,partial upartial y =e^x^2e^y,(x^2e^y)
  • Para -y^3,
partialpartial y(-y^3)=-3y^2
  • Para xcos x, independe de y, dá zero.
    Portanto,
partial fpartial y =x^2e^ye^x^2e^y-3y^2

Passo 4

Calculando partial^2fpartial x^2: derive
partial fpartial x =2x e^ye^x^2e^y+cos x - xsin x em relação a x.
  1. Para 2x e^ye^x^2e^y, note que e^y é constante em x. Use produto e cadeia:
ddxl(2x e^ye^x^2e^yr) =2e^ye^x^2e^y +2x e^yl(e^x^2e^ycdot2x e^yr) =2e^ye^x^2e^y+4x^2e^2ye^x^2e^y
  1. Para cos x, ddxcos x=-sin x.
  2. Para -xsin x,
ddx(-xsin x) =-(sin x + xcos x) =-sin x - xcos x
Somando tudo,
partial^2fpartial x^2 =2e^ye^x^2e^y +4x^2e^2ye^x^2e^y -2sin x - xcos x

Passo 5

Calculando partial^2fpartial y,partial x: derive
partial fpartial x =2x e^ye^x^2e^y+cos x - xsin x em relação a y.
Apenas o primeiro termo depende de y:
partialpartial yl(2x e^ye^x^2e^yr) =2x;ddyl(e^ye^x^2e^yr) =2x;e^ye^x^2e^yl(1+x^2e^yr)
Os outros termos são independentes de y. Logo,
partial^2fpartial y,partial x =2x e^ye^x^2e^yl(1+x^2e^yr)

Passo 6

Calculando partial^2fpartial y^2: derive
partial fpartial y =x^2e^ye^x^2e^y-3y^2 em relação a y.
  1. Para x^2e^ye^x^2e^y, similar ao passo anterior:
partialpartial yl(x^2e^ye^x^2e^yr) =x^2e^ye^x^2e^yl(1+x^2e^yr)
  1. Para -3y^2, dá -6y.
    Logo,
partial^2fpartial y^2 =x^2e^ye^x^2e^yl(1+x^2e^yr)-6y

Resposta

fxx=2e^ye^x^2e^y +4x^2e^2ye^x^2e^y -2sin x - xcos x,
fxy=fyx =2x e^ye^x^2e^yl(1+x^2e^yr),
fyy =x^2e^ye^x^2e^yl(1+x^2e^yr)-6y

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