Determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região
. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função
na região retangular fechada
O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis em conjunto compacto: pelo Teorema de Weierstrass,
contínua em
atinge máximos e mínimos absolutos; vamos achar pontos críticos no interior e depois examinar a fronteira.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
Para ponto crítico, impondo
, vem
Esse ponto
está dentro de
.
Passo 3
A matriz Hessiana de
é
que é definida positiva, logo
é convexa e
é o mínimo global (e, portanto, mínimo absoluto) em todo
. Seu valor é
Passo 4
Como
é convexa, o máximo absoluto em
ocorre nos vértices do retângulo. Avaliamos
nos quatro cantos:
Passo 5
Comparando, o menor valor é
em
e o maior é
nos pontos
e
.
Resposta
Mínimo absoluto:
.
Máximo absoluto: .
Máximo absoluto: