Determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício C 1
f(x, y)=x^2+2 y^2-2 x-4 y+1, R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função
f(x,y)=x^2+2y^2-2x-4y+1
na região retangular fechada
R=(x,y)inR^2mid 0<= x<=2,;0<= y<=3
O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis em conjunto compacto: pelo Teorema de Weierstrass, f contínua em R atinge máximos e mínimos absolutos; vamos achar pontos críticos no interior e depois examinar a fronteira.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(2x-2,;4y-4r)
Para ponto crítico, impondo nabla f(x,y)=(0,0), vem
2x-2=0, 4y-4=0 Longrightarrow x=1,;y=1
Esse ponto (1,1) está dentro de R.

Passo 3

A matriz Hessiana de f é
Hf(x,y)=2&00&4,
que é definida positiva, logo f é convexa e (1,1) é o mínimo global (e, portanto, mínimo absoluto) em todo R^2. Seu valor é
f(1,1)=1^2+2cdot1^2-2cdot1-4cdot1+1 =-2

Passo 4

Como f é convexa, o máximo absoluto em R ocorre nos vértices do retângulo. Avaliamos f nos quatro cantos:
f(0,0)=0+0-0-0+1=1,
f(2,0)=4+0-4-0+1=1,
f(0,3)=0+18-0-12+1=7,
f(2,3)=4+18-4-12+1=7

Passo 5

Comparando, o menor valor é -2 em (1,1) e o maior é 7 nos pontos (0,3) e (2,3).

Resposta

Mínimo absoluto: f(1,1)=-2.
Máximo absoluto: f(0,3)=f(2,3)=7.

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