Considere a função f(x, y)=raiz4 x^2+y^2.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo das curvas de nível da função
f(x,y)=raiz4x^2+y^2
Isto é, para cada valor c fixo, queremos descrever o conjunto
(x,y)inR^2 mid f(x,y)=c
O conteúdo é geometria analítica em duas variáveis, usando a definição de curvas de nível.

Passo 2

Por definição, a curva de nível de ordem c é
f(x,y)=c Long<=ftrightarrow raiz4x^2+y^2=c
Para que exista essa curva, precisamos de c>=0, já que a raiz quadrada é não negativa.

Passo 3

Elevando ao quadrado, obtemos a equação implícita
4x^2 + y^2 = c^2
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em (0,0).

Passo 4

Escrevendo em forma canônica, dividimos ambos os lados por c^2:
x^2(c/2)^2 + y^2c^2 = 1
Logo, a semi-abscissa (eixo em x) vale a = tfracc2 e a semi-ordenada (eixo em y) vale b = c.

Passo 5

  • Se c<0, não há solução real, pois raiz4x^2+y^2>=0.
  • Se c=0, a equação vira 4x^2+y^2=0, cujo único ponto é (0,0).
  • Se c>0, a curva de nível é uma elipse não degenerada de semi-eixos a=c/2 e b=c.

Resposta

As curvas de nível de f são, para cada c>=0,
4x^2 + y^2 = c^2,
ou seja elipses centradas em (0,0) com semi-eixos a=c/2 e b=c, sendo o caso c=0 a solução degenerada (0,0).

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