Considere a função
.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de
.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de
Passo 1
O enunciado pede o estudo das curvas de nível da função
Isto é, para cada valor
fixo, queremos descrever o conjunto
O conteúdo é geometria analítica em duas variáveis, usando a definição de curvas de nível.
Passo 2
Por definição, a curva de nível de ordem
é
Para que exista essa curva, precisamos de
, já que a raiz quadrada é não negativa.
Passo 3
Elevando ao quadrado, obtemos a equação implícita
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em
.
Passo 4
Escrevendo em forma canônica, dividimos ambos os lados por
:
Logo, a semi-abscissa (eixo em
) vale
e a semi-ordenada (eixo em
) vale
.
Passo 5
- Se
, não há solução real, pois . - Se
, a equação vira , cujo único ponto é . - Se
, a curva de nível é uma elipse não degenerada de semi-eixos e .
Resposta
As curvas de nível de
são, para cada
,
ou seja elipses centradas em
com semi-eixos
e
, sendo o caso
a solução degenerada
.