Exercício 5-Determine as derivadas parciais indicadas:
h(x, y, z)=-x^2 y^2 z^2+3 y^3 x^2+cos ^2(x) ; partial^3 hpartial x partial z^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y,z) = -x^2y^2z^2 ;+;3y^3x^2;+;cos^2(x)
e pede a derivada parcial de terceira ordem
partial^3hpartial x,partial z^2
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais de ordens maiores e a troca de ordem de diferenciação (pelo teorema de Clairaut, as derivadas mistas são contínuas e a ordem não altera o resultado).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de h em relação a z:
partial hpartial z = partialpartial zl(-x^2y^2z^2r) = -x^2y^2,cdot 2z = -2x^2y^2z,
pois os outros termos não dependem de z.

Passo 3

Em seguida, derivamos novamente em relação a z para obter
partial^2hpartial z^2 = partialpartial zl(-2x^2y^2zr) = -2x^2y^2

Passo 4

Por fim, derivamos o resultado acima em relação a x:
partial^3hpartial x,partial z^2 = partialpartial xl(-2x^2y^2r) = -2cdot 2x,y^2 = -4x,y^2

Resposta

-4x,y^2

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