Provar a desigualdade de cauchy-Schwartz para dois vetores v, w in R^n, através de uma análise da função
f(t)=|v-t w|, t in R,
quanto a máximo e mínimo. A desigualdade é
|lang<=v, wrang<=| <=|v| cdot|w|, forall v, w in R^n

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz
|lang<= vec v,vec wrang<=|<=|vec v|;|vec w|
para quaisquer vec v,vec win R^n, examinando a função
f(t)=|vec v - t,vec w|, tin R
O conteúdo que vamos usar é a definição de norma em termos de produto escalar, a expansão de |cdot|^2 e o estudo de uma função quadrática (seu mínimo).

Passo 2

Para facilitar o estudo, consideramos
f(t)^2 = |vec v - t,vec w|^2 = lang<= vec v - t,vec w,;vec v - t,vec wrang<=
Usando linearidade e simetria do produto escalar, obtemos
f(t)^2 = lang<= vec v,vec vrang<= -2t,lang<= vec v,vec wrang<= + t^2,lang<= vec w,vec wrang<= = |vec v|^2 - 2t,lang<= vec v,vec wrang<= + t^2,|vec w|^2

Passo 3

Note que f(t)^2 é uma função quadrática em t, com coeficiente de t^2 dado por |vec w|^2>=0. Se vec wneqvec0 então |vec w|^2>0 e a parábola abre para cima, tendo um valor mínimo. Como f(t)^2=|vec v-tvec w|^2>=0 para todo t, o vértice dessa parábola também deve satisfazer f(t)^2>=0.

Passo 4

O valor de t que minimiza a quadrática é
t0 = lang<= vec v,vec wrang<=|vec w|^2
Substituindo em f(t)^2, temos
f(t0)^2 = |vec v|^2 -2lang<= vec v,vec wrang<=^2|vec w|^2 +lang<= vec v,vec wrang<=^2|vec w|^4,|vec w|^2 = |vec v|^2 - lang<= vec v,vec wrang<=^2|vec w|^2
Como f(t0)^2>=0, segue
|vec v|^2 - lang<= vec v,vec wrang<=^2|vec w|^2>=0 Longrightarrow lang<= vec v,vec wrang<=^2 <= |vec v|^2,|vec w|^2,
e tomando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando do valor absoluto), obtemos
|lang<= vec v,vec wrang<=|<=|vec v|,|vec w|

Resposta

|lang<= vec v,vec wrang<=|<=|vec v|;|vec w|

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