Provar a desigualdade de cauchy-Schwartz para dois vetores
, através de uma análise da função
quanto a máximo e mínimo. A desigualdade é
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz
para quaisquer
, examinando a função
O conteúdo que vamos usar é a definição de norma em termos de produto escalar, a expansão de
e o estudo de uma função quadrática (seu mínimo).
Passo 2
Para facilitar o estudo, consideramos
Usando linearidade e simetria do produto escalar, obtemos
Passo 3
Note que
é uma função quadrática em
, com coeficiente de
dado por
. Se
então
e a parábola abre para cima, tendo um valor mínimo. Como
para todo
, o vértice dessa parábola também deve satisfazer
.
Passo 4
O valor de
que minimiza a quadrática é
Substituindo em
, temos
Como
, segue
e tomando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando do valor absoluto), obtemos