Considere a função f(x, y)=rx^4-y^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 1, se (x, y)=(0,0).
(b) ( 1,0 ponto) f é contínua no ponto (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= x^4-y^4x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 1,&se (x,y)=(0,0)
Pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso, precisamos calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e comparar com f(0,0)=1.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) podemos simplificar
x^4-y^4x^2+y^2 =(x^2-y^2)(x^2+y^2)x^2+y^2 =x^2-y^2
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lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)(x^2-y^2) =0-0 =0

Passo 3

Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 difere de f(0,0)=1, a definição de continuidade em (0,0) falha.

Resposta

Não, f não é contínua em (0,0), pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0neq1=f(0,0)

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