Sabendo que a estimativa do número de iterações para o método da bissecção é dada por: k \geq \frac{\log (b-a)-\log (\delta)}{\log (2)}, em que a e b são os limites inferior e superior do intervalo da raiz isolada e \delta a precisão. Desta forma, inicialmente calcule quantas iterações seriam necessárias para se obter uma aproximação de \sqrt[4]{8} com precisão de \delta=10^{-4}, no intervalo 1,681 ; 1,682. Em seguida, obtenha a aproximaçāo. Considere quatro casas decimais com arredondamento. Use o critério de parada: \left|b_{k}-a_{k}\right| \leq \delta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o número mínimo de iterações k necessário para o método da bissecção, usando a fórmula
k \ge \frac{\log(b-a)-\log(\delta)}{\log(2)},
com a=1{,}681, b=1{,}682 e \delta=10^{-4}.
  • Aplicar o método da bissecção nesse intervalo para aproximar a raiz de f(x)=x^{4}-8 até que |b_k-a_k|\le\delta, e apresentar a aproximação final com quatro casas decimais (arredondamento).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • a_0=1{,}681.
  • b_0=1{,}682.
  • \delta=10^{-4}.
  • Função alvo: f(x)=x^{4}-8 (procuramos x tal que f(x)=0, isto é \sqrt[4]{8}).

Passo 2

Explicando a fórmula do número de iterações: a cada iteração da bissecção o comprimento do intervalo é dividido por 2. Se o comprimento inicial é L_0=b-a, após k iterações o comprimento é
L_k=\frac{b-a}{2^{k}}.
Queremos L_k\le\delta. Tomando logaritmo em ambos os lados e isolando k obtemos a fórmula dada:
k \ge \frac{\log(b-a)-\log(\delta)}{\log(2)}.
Agora aplico a fórmula aos números do enunciado. Primeiro calcule b-a:
b-a = 1{,}682 - 1{,}681 = 0{,}001 = 10^{-3}.
Substituindo:
k \ge \frac{\log(10^{-3})-\log(10^{-4})}{\log(2)} = \frac{-3\log(10)-(-4\log(10))}{\log(2)} = \frac{\log(10)}{\log(2)}.
\frac{\log(10)}{\log(2)}=\log_{2}(10)\approx 3{,}3219\ldots
Como k deve ser um inteiro (número de iterações), tomamos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, ou seja o teto:
k_{\min}=4.

Passo 3

Agora vamos executar o método da bissecção passo a passo. Primeiro certificar que há troca de sinal em [a_0,b_0] (isso garante existência de raiz isolada pelo teorema do valor intermediário, já que f é contínua).
Calculo f(a_0) e f(b_0).
Calcule f(1{,}681)=1{,}681^{4}-8.
Primeiro 1{,}681^{2}=2{,}825761. Em seguida
1{,}681^{4}=(1{,}681^{2})^{2}=2{,}825761^{2}=7{,}984925229121,
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f(1{,}681)=7{,}984925229121-8=-0{,}015074770879\quad(\text{negativo}).
Calcule f(1{,}682)=1{,}682^{4}-8.
Primeiro 1{,}682^{2}=2{,}829124. Em seguida
1{,}682^{4}=2{,}829124^{2}=8{,}003942607376,
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f(1{,}682)=8{,}003942607376-8=0{,}003942607376\quad(\text{positivo}).
Como f(1{,}681)<0 e f(1{,}682)>0, há uma raiz em [1{,}681,1{,}682].

Passo 4

Iteração 1:
  • Pontos: a_0=1{,}681, b_0=1{,}682.
  • Ponto médio:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1{,}681+1{,}682}{2}=1{,}6815.
  • Avaliação:
    calculei 1{,}6815^{2}=2{,}82744225 e
1{,}6815^{4}=2{,}82744225^{2}=7{,}9944296770850625,
portanto
f(1{,}6815)=7{,}9944296770850625-8=-0{,}0055703229149375\quad(\text{negativo}).
  • Como f(m_1) tem mesmo sinal que f(a_0) (ambos negativos), a raiz está em [m_1,b_0]=[1{,}6815,\,1{,}682]. Atualizo:
a_1=1{,}6815,\qquad b_1=1{,}682.

Passo 5

Iteração 2:
  • Ponto médio:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{1{,}6815+1{,}682}{2}=1{,}68175.
  • Avaliação (cálculo por quadrados sucessivos):
    1{,}68175^{2}=2{,}8282830625 e
1{,}68175^{4}=2{,}8282830625^{2}\approx 7{,}9991850818,
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f(1{,}68175)\approx 7{,}9991850818-8=-0{,}0008149182\quad(\text{negativo}).
  • Como f(m_2) negativo, a raiz fica em [m_2,b_1]=[1{,}68175,\,1{,}682]. Atualizo:
a_2=1{,}68175,\qquad b_2=1{,}682.

Passo 6

Iteração 3:
  • Ponto médio:
m_3=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{1{,}68175+1{,}682}{2}=1{,}681875.
  • Avaliação aproximada: usando expansão linear (ou calculando os quadrados) obtém-se
1{,}681875^{4}\approx 8{,}00156\quad\Rightarrow\quad f(1{,}681875)\approx +0{,}00156\\ (\text{positivo}).
(um cálculo detalhado por quadrados sucessivos daria valor muito próximo a esse; o sinal é positivo.)
  • Como f(m_3) é positivo, a raiz fica em [a_2,m_3]=[1{,}68175,\,1{,}681875]. Atualizo:
a_3=1{,}68175,\qquad b_3=1{,}681875.

Passo 7

Iteração 4:
  • Ponto médio:
m_4=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{1{,}68175+1{,}681875}{2}=1{,}6818125.
  • Avaliação do sinal: conhecendo que a raiz está entre 1{,}68175 e 1{,}681875 e que o valor real da raiz é aproximadamente 1{,}68179\ldots, temos m_4> \text{raiz}, portanto f(m_4)>0. (Também é possível verificar numericamente por quadrados.)
  • Assim f(m_4) é positivo e a nova janela é [a_3,m_4]=[1{,}68175,\,1{,}6818125]. Atualizo:
a_4=1{,}68175,\qquad b_4=1{,}6818125.
  • Agora o comprimento do intervalo é
b_4-a_4=1{,}6818125-1{,}68175=0{,}0000625=6{,}25\times10^{-5}\le 10^{-4}=\delta,
portanto o critério de parada |b_k-a_k|\le\delta foi satisfeito com k=4 iterações (concordando com o resultado do Passo 2).

Passo 8

Obtenção da aproximação: como aproximação final usa-se o ponto médio do último intervalo [a_4,b_4]:
\tilde x=\frac{a_4+b_4}{2}=\frac{1{,}68175+1{,}6818125}{2}=1{,}68178125.
Arredondando \tilde x para quatro casas decimais: a quarta casa decimal é o algarismo 7 (em 1{,}6817\underline{8}125), e o quinto algarismo é 8 (maior que 5), então a quarta casa sobe de 7 para 8. Assim o valor com quatro casas decimais é
1{,}6818.

Resposta

4
1{,}6818

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