Sabendo que a estimativa do número de iterações para o método da bissecção é dada por:
, em que
e
são os limites inferior e superior do intervalo da raiz isolada e
a precisão. Desta forma, inicialmente calcule quantas iterações seriam necessárias para se obter uma aproximação de
com precisão de
, no intervalo
. Em seguida, obtenha a aproximaçāo. Considere quatro casas decimais com arredondamento. Use o critério de parada:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o número mínimo de iterações
necessário para o método da bissecção, usando a fórmula
com
,
e
.
- Aplicar o método da bissecção nesse intervalo para aproximar a raiz de
até que , e apresentar a aproximação final com quatro casas decimais (arredondamento).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
-
. -
. -
. - Função alvo:
(procuramos tal que , isto é ).
Passo 2
Explicando a fórmula do número de iterações: a cada iteração da bissecção o comprimento do intervalo é dividido por
. Se o comprimento inicial é
, após
iterações o comprimento é
Queremos
. Tomando logaritmo em ambos os lados e isolando
obtemos a fórmula dada:
Agora aplico a fórmula aos números do enunciado. Primeiro calcule
:
Substituindo:
Como
deve ser um inteiro (número de iterações), tomamos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, ou seja o teto:
Passo 3
Agora vamos executar o método da bissecção passo a passo. Primeiro certificar que há troca de sinal em
(isso garante existência de raiz isolada pelo teorema do valor intermediário, já que
é contínua).
Calculo e
.
Calculo
Calcule
.
Primeiro . Em seguida
Primeiro
logo
Calcule
.
Primeiro . Em seguida
Primeiro
logo
Como
e
, há uma raiz em
.
Passo 4
Iteração 1:
- Pontos:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
calculeie
portanto
- Como
tem mesmo sinal que (ambos negativos), a raiz está em . Atualizo:
Passo 5
Iteração 2:
- Ponto médio:
- Avaliação (cálculo por quadrados sucessivos):
e
logo
- Como
negativo, a raiz fica em . Atualizo:
Passo 6
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliação aproximada: usando expansão linear (ou calculando os quadrados) obtém-se
(um cálculo detalhado por quadrados sucessivos daria valor muito próximo a esse; o sinal é positivo.)
- Como
é positivo, a raiz fica em . Atualizo:
Passo 7
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avaliação do sinal: conhecendo que a raiz está entre
e e que o valor real da raiz é aproximadamente , temos , portanto . (Também é possível verificar numericamente por quadrados.) - Assim
é positivo e a nova janela é . Atualizo:
- Agora o comprimento do intervalo é
portanto o critério de parada
foi satisfeito com
iterações (concordando com o resultado do Passo 2).
Passo 8
Obtenção da aproximação: como aproximação final usa-se o ponto médio do último intervalo
:
Arredondando
para quatro casas decimais: a quarta casa decimal é o algarismo
(em
), e o quinto algarismo é
(maior que
), então a quarta casa sobe de
para
. Assim o valor com quatro casas decimais é