Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0),(1,0) e (0,2), se a função densidade é \rho(x, y)=1+3 x+y.
(Dica: A massa é dada por: m=\iint_{D} \rho(x, y) d A e as coordenadas do centro de massa (\bar{x}, \bar{y}) são dadas por \bar{x}=\frac{1}{m} \iint_{D} x \rho(x, y) d A e \left.\bar{y}=\frac{1}{y} \iint_{D} y \rho(x, y) d A\right)

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2), sob densidade variável \rho(x,y)=1+3x+y. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas para massa
m=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA
e para as coordenadas do centro de massa
\bar x=\frac{1}{m}\iint_{D}x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac{1}{m}\iint_{D}y\,\rho(x,y)\,dA.

Passo 2

Descrevemos a região D triangular projetada no plano xy. A reta que liga (1,0) a (0,2) é
y=2-2x,
logo
0\le x\le1,\qquad 0\le y\le2-2x.
Assim podemos montar todas as integrais como
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{\,2-2x}(\cdots)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos a massa
m=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\,2-2x}\bigl(1+3x+y\bigr)\,dy\,dx.
Primeiro a integral em y:
\int_{0}^{2-2x}(1+3x+y)\,dy =(1+3x)(2-2x)+\frac{(2-2x)^2}{2} =4-4x^2.
Então
m=\int_{0}^{1}(4-4x^2)\,dx =\Bigl[4x-\frac{4x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =4-\frac{4}{3} =\frac{8}{3}.

Passo 4

Agora \displaystyle \iint_{D}x\,\rho(x,y)\,dA:
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2-2x}x\,(1+3x+y)\,dy\,dx.
No interior em y obtemos
x\int_{0}^{2-2x}(1+3x+y)\,dy =x\,(4-4x^2) =4x-4x^3.
Integrando em x:
\int_{0}^{1}(4x-4x^3)\,dx =\Bigl[2x^2-x^4\Bigr]_{0}^{1} =2-1 =1.
Logo
\bar x=\frac{1}{m}\cdot 1 =\frac{1}{\tfrac{8}{3}} =\frac{3}{8}.

Passo 5

Por fim \displaystyle \iint_{D}y\,\rho(x,y)\,dA:
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2-2x}y\,(1+3x+y)\,dy\,dx.
O interior em y
\int_{0}^{2-2x}\bigl(y+3xy+y^2\bigr)\,dy =\frac{(2-2x)^2}{2}(1+3x)+\frac{(2-2x)^3}{3},
que, após expandir e simplificar, resulta em
\frac{14}{3}-6x-2x^2+\frac{10}{3}x^3.
Integrando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{14}{3}-6x-2x^2+\frac{10}{3}x^3\Bigr)dx =\frac{11}{6}.
Então
\bar y=\frac{1}{m}\cdot\frac{11}{6} =\frac{11/6}{8/3} =\frac{11}{16}.

Resposta

m=\dfrac{8}{3},\quad \bar x=\dfrac{3}{8},\quad \bar y=\dfrac{11}{16}.

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