Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices
e
, se a função densidade é
.
(Dica: A massa é dada por:
e as coordenadas do centro de massa
são dadas por
e
(Dica: A massa é dada por:
Passo 1
O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices em
,
e
, sob densidade variável
. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas para massa
e para as coordenadas do centro de massa
Passo 2
Descrevemos a região
triangular projetada no plano
. A reta que liga
a
é
logo
Assim podemos montar todas as integrais como
Passo 3
Calculamos a massa
Primeiro a integral em
:
Então
Passo 4
Agora
:
No interior em
obtemos
Integrando em
:
Logo
Passo 5
Por fim
:
O interior em
dá
que, após expandir e simplificar, resulta em
Integrando de
a
:
Então