Extenda periodicamente e determine a série de Fourier para
Use a série de Fourier da função
para obter uma expressão em série para
e
.
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período
e pede a sua série de Fourier, além de extrair dela expressões em série para
. Vamos usar as fórmulas
e depois avaliar a série nos pontos
e
.
Passo 2
Calcular
. Como
em
e
em
,
Passo 3
Calcular
. Usamos
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
e, portanto,
Passo 4
Calcular
. Temos
Novamente por partes chega-se a
logo
Passo 5
Escrevendo a série de Fourier, fica
Passo 6
Avaliar em
. O valor da série em
é
e pela convergência ao valor médio das vizinhanças temos
Logo
e, invertendo o sinal do índice,
Passo 7
Avaliar em
. Em
há descontinuidade, e a série converge ao valor médio
Por outro lado,
pois
. Assim
Resposta
A série de Fourier de
é
Das avaliações em
e
seguem as identidades clássicas: