Extenda periodicamente e determine a série de Fourier para
f(t)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se }-\pi \leq t<0 \\\ t^{2}, \text { se } 0 \leq t<\pi \end{array}\right.
Use a série de Fourier da função f para obter uma expressão em série para \frac{\pi^{2}}{6} e \frac{\pi^{2}}{12}.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) \[f(t)= \begin{cases} 0,&-\pi\le t<0,\\\ t^2,&0\le t<\pi, \end{cases}
e pede a sua série de Fourier, além de extrair dela expressões em série para \pi^2/6\] e \(\pi^2/12. Vamos usar as fórmulas
a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt,\quad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt
e depois avaliar a série nos pontos t=0 e t=\pi.

Passo 2

Calcular a_0. Como f(t)=0 em [-\pi,0) e f(t)=t^2 em [0,\pi),
a_0 =\frac1\pi\int_{0}^{\pi}t^2\,dt =\frac1\pi\Bigl[\frac{t^3}{3}\Bigr]_0^{\pi} =\frac{\pi^2}{3}.

Passo 3

Calcular a_n. Usamos
a_n =\frac1\pi\int_{0}^{\pi}t^2\cos(nt)\,dt.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
\int_{0}^{\pi}t^2\cos(nt)\,dt =2(-1)^n\frac{\pi}{n^2}
e, portanto,
a_n =\frac{1}{\pi}\,2(-1)^n\frac{\pi}{n^2} =\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

Calcular b_n. Temos
b_n =\frac1\pi\int_{0}^{\pi}t^2\sin(nt)\,dt.
Novamente por partes chega-se a
\int_{0}^{\pi}t^2\sin(nt)\,dt =-(-1)^n\frac{\pi^2}{n} +2\frac{(-1)^n-1}{n^3},
logo
b_n =\frac1\pi\Bigl[-(-1)^n\frac{\pi^2}{n} +2\frac{(-1)^n-1}{n^3}\Bigr] =-(-1)^n\frac{\pi}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 5

Escrevendo a série de Fourier, fica
f(t) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr] =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nt) +\Bigl(-(-1)^n\frac{\pi}{n}+\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^3}\Bigr)\sin(nt)\Bigr].

Passo 6

Avaliar em t=0. O valor da série em t=0 é
f(0)=0,
e pela convergência ao valor médio das vizinhanças temos
0 =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(0) =\frac{\pi^2}{6} +2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}.
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} =-\frac{\pi^2}{12},
e, invertendo o sinal do índice,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n^2} =\frac{\pi^2}{12}.

Passo 7

Avaliar em t=\pi. Em t=\pi há descontinuidade, e a série converge ao valor médio
\frac{f(\pi^-)+f(\pi^+)}{2} =\frac{\pi^2+0}{2} =\frac{\pi^2}{2}.
Por outro lado,
\frac{\pi^2}{2} =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(n\pi) =\frac{\pi^2}{6} +2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},
pois \cos(n\pi)=(-1)^n. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}.

Resposta

A série de Fourier de f é
f(t) =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nt) +\Bigl(-(-1)^n\frac{\pi}{n}+\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^3}\Bigr)\sin(nt)\Bigr].
Das avaliações em t=0 e t=\pi seguem as identidades clássicas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n^2} =\frac{\pi^2}{12}.

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